¿Cómo resolver ecuaciones diferenciales polinómicas?

Question

Estaba explorando los polinomios de las ecuaciones diferenciales y necesito ayuda. Tengo dos ecuaciones a continuación por favor ayúdame a resolver cualquiera de ellos, no puedo encontrar una sustitución que funciona:

$1.$ $Ax+By+C\dfrac{dy}{dx}+D=0$

$2.$ $Ax^2+Bx+Cy^2+Dy+Exy+Fx\dfrac{dy}{dx}+Gy\dfrac{dy}{dx}+H\dfrac{dy}{dx}+I\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2+K=0$

Para la primera lo he intentado:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-Ax-By-D}{C}$

Entonces hice la sustitución $y=vx$ , $\dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx}$

Para conseguirlo:

$v+x\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{-Ax-Bvx-D}{C}$

Restando $v$ He recibido:

$x\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{-Ax-Bvx-D}{C}-v$

y todavía no se ha llegado a ninguna parte...

No sé cómo abordar la segunda forma.

Answer 1

La pregunta 1 es sólo una EDO lineal. La solución homogénea proviene de $By+Cy'=0$ , lo que da $y_o = c_o e^{-B/C}x$ .

La solución heterogénea puede resolverse adivinando una solución de la forma $y_o+\alpha x + \beta$ que da una solución final de $y = c_0e^{-B/C}x-\frac{A}{B}x+\frac{AC-BD}{B^2}$ .