$(a_n) $ es una secuencia de números reales positivos. La serie $\sum a_n$ convergerá si

Question

$(a_n) $ es una secuencia de números reales positivos. La serie $\sum a_n$ convergerá si

(a) $\sum a_n^2$ converge.

(b) $\sum \frac{a_n}{2^n}$ converge

(c) $\sum \frac{a_{n+1}}{a_n}$ coberturas

(d) $\sum \frac{a_n}{a_{n+1}}$ converge

a) no puede ser cierto, contra ejemplo : $\sum\frac{1}{n^2}$ converge pero no $\sum \frac1n$

b) no puede ser cierto, contra ejemplo : $\frac{n}{2^n}$ converge pero no $\sum n$

No puedo decidirme entre la c y la d. Creo que la c podría ser cierta tomando $a_n = \frac{1}{(2n)!}$

también creo que tomar $a_n = (2n)!$ refutará d también. Entonces, ¿es c la opción correcta?

Answer 1

Si $\sum \frac {a_{n+1}} {a_n}$ converge entonces $\frac {a_{n+1}} {a_n} \to 0$ así que $\sum a_n$ converge por la prueba de la proporción. Si $\sum \frac {a_n} {a_{n+1}}$ converge entonces $\frac {a_n} {a_{n+1}} \to 0$ y $\frac {a_{n+1}} {a_n} \to \infty $ , por lo que la prueba de la proporción te dice que $\sum a_n$ diverge.