análisis complejo: imagen de los ejes

Question

Dada la siguiente función $$w=f(z)=\frac{2z-1}{2-z}, z=x+iy,w=u+iv$$ donde $i$ es la unidad imaginaria. La tarea consiste en determinar la imagen del eje imaginario. La solución calcula la función inversa y encuentra para x $$x=\frac{2u^2+5u+2v^2+2}{(u+2)^2+v^2}$$ lo que me parece bien. Al establecer $x=0$ se obtiene $$(u+\frac{5}{4})^2+v^2=(\frac{3}{4})^2$$ que obviamente describe un círculo.

El problema es: Cuando lo hice, decidí resolver para u y v, lo que me dio $$u=\frac{-2x^2+5x-2y^2-2}{(2-x)^2+y^2}$$ $$v=\frac{3y}{(2-x)^2+y^2}$$

Entonces puse $x=0$ lo que me llevó a $u$ y $v$ , dependiendo sólo de $y$ : $$u=\frac{-2y^2-2}{4+y^2}$$ $$v=\frac{3y}{4+y^2}$$ Poniendo entonces $u$ y $v$ de nuevo juntos yo, pensé que $w$ ahora debería ser un círculo si se traza (no lo es). Además, si la imagen del eje imaginario es un círculo, el valor absoluto de $w=u+iv$ con $x=0$ debería ser constante; pero resulta que no lo es (o lo he calculado mal unas cuantas veces). Ahora bien, esto me parece impar, así que agradecería mucho que alguien me iluminara/corrija.

Gracias.

Answer 1

Después de pensar de nuevo, me di cuenta de que sólo los círculos centrados en el cero tienen valor absoluto constante, y al trazarlo de nuevo con cuidado, efectivamente se veía un círculo, así que supongo que es eso.