Dividiendo un triángulo equilátero en N partes iguales (posiblemente no conectadas)

Question

Es fácil dividir un triángulo equilátero en $n^2$, $2n^2$, $3n^2$ o $6n^2$ triángulos iguales.

Pero ¿puedes dividir un triángulo equilátero en 5 partes congruentes? Recientemente M. Patrakeev encontró una forma increíble de hacerlo; mira la imagen a continuación (nota que las partes no están conectadas, pero de hecho son congruentes, no meramente tienen la misma área). Así que un triángulo equilátero también se puede dividir en $5n^2$ y $10n^2$ partes congruentes.

Pregunta. ¿Existen otras formas de dividir un triángulo equilátero en partes congruentes? (Por ejemplo, ¿se puede dividir en 7 partes congruentes?) O en la dirección opuesta: ¿puedes demostrar que un triángulo equilátero no puede dividirse en $N$ partes congruentes para algún $N$?

                                           

(Naturalmente, he intentado encontrar algo similar al ejemplo anterior durante algún tiempo, pero sin éxito. Tal vez alguien pueda encontrar un ejemplo usando una búsqueda por computadora?..)

Preferiría usar uniones finitas de polígonos como 'partes' y se permite que diferentes partes tengan puntos de límite comunes. Pero si tienes un ejemplo con 'partes' más generales, eso también sería interesante.

Answer 1

Recientemente Pavel Guzenko encontró una forma de dividir un triángulo equilátero en 15 partes congruentes (y también en 30 partes congruentes).

Answer 2

En un preprint reciente https://arxiv.org/abs/1812.07014, M.Beeson muestra cómo dividir un triángulo equilátero en $15×3^6=10935$ triángulos iguales (con lados de 3, 5, 7 y un ángulo igual a $2\pi/3$).

Answer 3

En este hilo de MathOverflow, hay disecados con $5n^2$ piezas para todo $n\ge 6$ donde las piezas son cuadriláteros simplemente conectados. El más pequeño es el que se muestra aquí:

                                                    

En el hilo, se menciona que Michael Reid afirma haber encontrado una disección simplemente conectada usando $7n^2$ trapecios para algunos $n$, pero al parecer el resultado no está publicado en ningún lugar.

En el caso donde las piezas son triángulos, el artículo de 1995 Disposiciones de Triángulos de M. Laczkovich tiene muchos resultados importantes. En particular, afirma que hay una disección de un triángulo equilátero en $2469600=2^5\cdot3^2\cdot5^2\cdot 7^3$ triángulos con longitudes de lado $7, 8,$ y $13$.

En general, el Teorema 3.3 en el artículo establece

Sea $x$ e $y$ enteros no nulos tal que $x+2y\neq 0\neq y+2x$. Entonces hay un entero positivo $k$ tal que el triángulo equilátero se puede descomponer en $n=|xy(x+2y)(y+2x)k^2|$ triángulos congruentes.

Esto da lugar a disecciones con un número de triángulos cuya parte libre de cuadrados es cualquiera de $ 5, 6, 10, 13, 14, 15, 21, 30, 35, 39, 55, 65, 66, 70, 85, 95, 105, 119, 130,\ldots$

Answer 4

Dado que el triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría, los triángulos equiláteros congruentes pueden dividirse en una cantidad cuadrada de formas, multiplicadas por $1, 2,$ o $3$, así que $6$ también funciona.

Cualquier triángulo equilátero puede dividirse en $n^2$ subtríangulos equiláteros, Primero, necesitamos encontrar un número cuadrado que sea divisible por $n$. Como se ve en la imagen que posteaste arriba, cada fila del triángulo agrega el siguiente número impar de triángulos: $1,3,5,7,9...$ Este es el patrón utilizado por los números cuadrados: $1=1||1+3=4||4+5=9||9+7=16||16+9=25...$ Por esta razón, cualquier triángulo equilátero puede dividirse en $n^2$ formas iguales.

Debido a los tres ejes de simetría, cualquier triángulo equilátero puede dividirse en $2,3,$ o $6$ formas, como se ve en la imagen a continuación.

Si combinamos estas dos posibilidades, podemos obtener un triángulo equilátero en $n^2,2n^2,3n^2,$ o $6n^2$ formas. No son posibles otras formas debido a estas dos leyes.

Entonces, solamente podemos dividir un triángulo equilátero en $n=2,3,4,6,8,9,12,16,18,20,24,25,etc...$ formas congruentes. Sin embargo, como en el ejemplo que diste, dividir un triángulo en partes congruentes separadas es, de hecho, posible.

Answer 5

Supongo que debe haber alguna manera de hacer esto con infinitesimales. Básicamente, piensa en esto como una suma de Riemann. El triángulo equilátero comienza con la esquina inferior izquierda en el origen como se muestra.

Luego hago una suma de Riemann de mano derecha con "a" subdivisiones. Luego hago que la N-ésima subdivisión sea parte de cada una de las N piezas no conectadas del triángulo. A continuación se muestra un ejemplo para "a"= 10 y N = 2

Como puedes ver, cuanto más aumentas "a", más parecido se ve el naranja al azul.

Entonces, si encuentras el límite a medida que "a" se acerca a infinito, obtienes la forma perfecta del triángulo y, para N = 2, las dos piezas (naranja y azul) son congruentes.

Esto funciona para cualquier número real de N; podrías hacer cada tercera columna para N = 3, etc. Siempre y cuando "a" sea infinito y no 10.

Entonces, básicamente al final, terminas con N "densidades" congruentes, no realmente N formas congruentes. Pero es lo mejor que se me ocurre :)