La reciprocidad de Frobenius dice que $\textrm{Ind}_H^G$ es un adjunto derecho al functor de restricción $\textrm{Res}_H^G$ . Es decir, para representaciones suaves $\pi$ de $G$ y $\sigma$ de $H$ existe una biyección, natural en $\pi$ y $\sigma$ :
$$\textrm{Hom}_G(\pi, \textrm{Ind}_H^G(\sigma)) = \textrm{Hom}_H(\textrm{Res}_H^G \pi, \sigma)$$
Dando esto por sentado, obtenemos que $\textrm{Ind}_H^G$ es exacta a la izquierda como adjunto a la derecha. La parte difícil es entonces demostrar que $\textrm{Ind}_H^G$ preserva los mapas suryectos.
La cuestión es la siguiente: cualquier representación lisa de un grupo compacto de tipo td es semisimple, es decir, una suma directa de representaciones irreducibles, o equivalentemente abarcada por representaciones irreducibles. A partir de aquí se puede demostrar que si $(\pi,V)$ es una representación suave de $G$ y $\rho$ es una representación irreducible de un subgrupo abierto compacto fijo $K$ de $G$ entonces $V$ es la suma directa de $K$ -espacios estables $V(\rho)$ , donde $V(\rho)$ es el $\rho$ -componente isotípico de $V$ el subespacio de $V$ que abarcan todos los $K$ -subespacios que son $K$ -isomorfo a $\rho$ .
Cualquier $G$ -mapa de representaciones suaves $V \rightarrow V'$ es, de hecho, una suma directa de $K$ -mapas de $K$ -espacios $V(\rho) \rightarrow V'(\rho)$ . En particular, si $v' \in V'$ es un $K$ -vector fijo (es decir, $v'$ se encuentra en el espacio isotípico correspondiente a la representación trivial) que se encuentra en la imagen de $V$ entonces $v'$ es mapeado por un $K$ -vector fijo de $V$ .
Por lo tanto, dejemos que $\phi: (W,\sigma) \rightarrow (U,\tau)$ sea un mapa suryectivo de lisos $H$ -representaciones. Sea $f \in \textrm{Ind}_H^G(\tau)$ y que $K$ sea un subgrupo abierto compacto de $G$ para lo cual $f$ es correcto $K$ -invariante.
Descanso $G$ en órbitas bajo la acción de $H \times K$ (por $(h,k) \cdot g = hgk^{-1}$ ). Sea $I$ sea el conjunto de órbitas, y elija para cada una $i \in I$ un representante de la órbita $g_i$ de $i$ . Es fácil ver que $f(g_i) \in U$ está fijado por el subgrupo abierto compacto $H \cap g_iKg_i^{-1}$ de $H$ . Desde $\phi$ es suryente, y por el "en particular" anterior, podemos elegir un vector $w_i \in W$ , también fijado por $H \cap g_iKg_i^{-1}$ , de tal manera que $\phi(w_i) = f(g_i)$ . A continuación, definimos una función
$$f_0: G \rightarrow W$$
especificando sus valores en cada una de las órbitas $Hg_iK$ :
$$f_0(hg_ik) = \sigma(h)w_i$$
Para demostrar que esto está bien definido, necesitamos mostrar que para una órbita fija $i$ , si $h_1g_i k_1 = hg_ik$ entonces $\sigma(h_1)w_i = \sigma(h)w_i$ . Esto se debe a que $\sigma(h^{-1}h_1)$ estabiliza $w_i$ , ya que $h^{-1}h_1 \in H \cap g_iKg_i^{-1}$ .
Es inmediato que $f_0$ se encuentra en $\textrm{Ind}_H^G(\sigma)$ . Finalmente, $\textrm{Ind}_H^G(\sigma)(f_0) = f$ ya que
$$\textrm{Ind}_H^G(\sigma)(f_0)(hg_ik) = \phi(f_0(hg_ik)) = \phi(\sigma(h)w_i) = \tau(h)f(g_i) = f(hg_i) = f(hg_ik)$$
