Probabilidad/Decisión- infimo sobre el conjunto de expectativas (puede interpretarse como un problema de decisión)

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria sobre $\mathbb{R}$ con primer momento finito (media). Sea $H$ sea una función a trozos definida tal que $H_a=c_1(x-a)$ para $x>a$ y $H_a=c_2(a-x)$ para $x<a$ con $c_1,c_2>0$ .

Dejemos que $a'$ sea un número tal que $P(X<a')=c_1/(c_1+c2)$ y $\mathbb{P}(X>a')=c_2/(c_1+c_2)$ .

¿Por qué es $\inf_{a\in\mathbb{R}} \mathbb{E} [H_a] = \mathbb{E}[H_{a'}]$ ?

Lo que he probado : Estoy tratando de explotar alguna propiedad del valor esperado para evaluar bien el valor esperado (para fijo $a$ ) $$\mathbb{P}(X> a)\cdot \mathbb{E}_{X> a}[H_a] + \mathbb{P}(X< a)\cdot \mathbb{E}_{X< a}[H_a].$$ Pero, ¿hay alguna buena propiedad que podamos explotar aquí?

Qué más he probado: Tomemos el caso en el que $c_1=c_2$ . Entonces se puede demostrar que $a'$ es la mediana y ver la igualdad por una definición de la mediana, ya que $\mathbb{E} [H_a]=\mathbb{E}[|X-a|],$ que se minimiza con la mediana, definida por $P(X<a')=\frac12$ .

Pero cómo generalizar... me pregunto si podemos hacer alguna transformación de $Z$ en el caso general para reducir al caso en el que estas constantes son las mismas?

¿Hay resultados similares para los distintos cuartiles (no sólo la mediana)?

Answer 1

Expresar la expectativa como una integral de Lebesgue-Stieltjes (relativa a la función de distribución acumulativa $F$ ), lo rompe en dos trozos en $x=a$ e integrar por partes:

$$\eqalign{ \mathbb{E}_F(H_a)& = \int_{\mathbb R} H_a(x) dF(x) = -c_2\int_{-\infty}^a (x-a)dF(x) + c_1\int_a^\infty (x-a) dF(x)\\ & = c_2\int_{-\infty}^a F(x) dx - c_1 \int_a^\infty (1-F(x)) dx. }$$

Esto requiere $\lim_{x\to -\infty}x F(x)= \lim_{x\to \infty}x (1-F(x))= 0$ pero ambos están implícitos en la suposición de que $F$ tiene una media finita.

Esto es evidentemente diferenciable con la derivada

$$\frac{d \mathbb {E} _F(H_a)}{da} = c_2 F(a) - c_1(1-F(a)) = -c_1 + (c_2+c_1)F(a).$$

El único punto crítico además de $\pm \infty$ es donde $F(a) = c_1/(c_1+c_2)$ Si ese punto existe, se puede comprobar que es un mínimo global. (Si $F$ tiene un salto discreto en $a$ que pasa por encima de $c_1/(c_1+c_2)$ se puede llegar a la misma conclusión observando que $\mathbb{E}_F(H_a)$ aumenta en $[a,\infty)$ y disminuye en $(-\infty, a)$ .)

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Aquí hay una demostración rápida de que una expectativa finita implica que el paso de integración por partes era válido. Se hicieron dos integraciones de este tipo: una para valores negativos de $x-a$ y otro para valores positivos de $x-a$ . Este último se obtiene de la misma manera que el primero, y ninguno depende del valor específico de $a$ (sólo hay que cambiar las variables por $y=x-a$ ), así que vamos a centrarnos en la integración de $xdF(x)$ .

Por definición, una expectativa finita significa que tanto $\int_{-\infty}^0 |x| dF(x)$ y $\int_0^{\infty}x dF(x)$ son finitos. El límite inferior infinito se alcanza fijándolo en $t$ y dejar que $t\to-\infty$ . La integración de este finito La integral por partes, que no es problemática, da como resultado

$$\int_{-\infty}^0 |x| dF(x) = \lim_{t\to-\infty} \int_t^0\left(F(x)-F(t)\right)dx.$$

Esta integral está representada por el área (azul) $I$ en la figura.

La zona límite de $I$ , ya que $t\to-\infty$ es la superficie total $I+II+III$ porque $F(t)\to 0$ . Pero esto finito área claramente es sólo $\int_{-\infty}^0 F(x)dx$ , QED.