Variación cuadrática para la Martingala discreta

Question

¿Existe algún análogo de la variación cuadrática de la martingala continua para el caso discreto? Si es así, ¿hay algún teorema que caracterice el paseo aleatorio simple utilizando la variación cuadrática - similar a la caracterización de Levy del movimiento browniano. Gracias

Answer 1

Ciertamente; si $M_n$ es un tiempo discreto $L^2$ martingala, entonces su variación cuadrática $\langle M \rangle_n$ es el único proceso creciente predecible tal que $\langle M \rangle_0 = 0$ y $M_n^2 - \langle M \rangle_n$ es una martingala. La existencia y la unicidad se deducen de La descomposición de Doob el precursor en tiempo discreto (y mucho más simple) de la descomposición de Doob-Meyer.

El paseo aleatorio simple no se caracteriza únicamente por su variación cuadrática; de hecho, si $X_i$ son iid con cualquier distribución que tenga media 0 y varianza 1, entonces $M_n = X_1 + \dots + X_n$ es una martingala con variación cuadrática $\langle M \rangle_n = n$ .

Answer 2

También existe la variación cuadrática, definida como la suma del cuadrado de los saltos (como en el tiempo continuo, se tiene, para las martingalas discontinuas el proceso de covariación y el proceso de covariación predecible)