Acotamiento de un funcional lineal con un parámetro

Question

Estoy trabajando en esta cuestión:

Consideremos el subespacio $Z=\{x\in C[0,1];x(0)=0\}$ . Para qué valores de $r>0$ el funcional lineal $$ f_r(x):=\int_0^1\frac{x(t)}{t^r}dt $$ ¿está acotado? Para aquellos $r$ , encontrar $\|f_r\|$ .

Bueno, hasta ahora, tengo

$$ |f_r(x)|\leqslant\|x\|_\infty\int_0^1t^{-r}dr, $$

y luego los valores de $r$ que tiene sentido en la integral son $0<r<1$ . Así, obtenemos

$$ |f_r(x)|\leqslant\frac{1}{1-r}\|x\|_\infty\quad\Longrightarrow\quad\|f_r\|\leqslant\frac{1}{1-r}. $$

Si mi idea es correcta, entonces el candidato a ser la norma de $f_r$ es $1/(1-r)$ . Pero no puedo encontrar el $x\in Z$ que hace el trabajo a la otra desigualdad.

Sin embargo, hay una gran posibilidad de que lo que estoy haciendo no sea correcto...

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

• para obtener la igualdad de la norma puede probar su funcional por $\phi_n(t)=t^{1/n}$ y $n$ lo suficientemente grande. Haciendo los cálculos se obtiene una secuencia maximizadora: $$||f_r||=\sup_{||x||_\infty=1, x \in Z} |f_r(x)| \geq |f_r(\phi_n)|$$ para todos $n$ y este último término tiende exactamente a $1/(1-r)$ .

• la misma secuencia muestra que para $r=1$ el funcional es ilimitado