Explicación intuitiva del lema de Burnside

Question

El lema de Burnside afirma que, dado un conjunto $X$ actuado por un grupo $G$ ,

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|$$

donde $|X/G|$ es el número de órbitas de la acción, y $|X^g|$ es el número de puntos fijos de $g$ . En otras palabras, el número de órbitas es igual al número medio de puntos fijos de un elemento de $G$ .

¿Hay alguna manera de que los puntos fijos de un elemento $g$ ¿se pueden considerar como órbitas? Me había preguntado en voz alta en mi reciente pregunta aquí cómo (o si) se puede interpretar que el Lemma de Burnside tiene el mismo tipo de objeto en ambos lados, para que sea un teorema de la media "verdadero", por ejemplo

" número de órbitas = media sobre $g\in G$ de (número de órbitas que satisfacen (algo que tiene que ver con $g$ ))"

o

" número de órbitas = media sobre $g\in G$ de (número de órbitas de alguna nueva acción que depende de $g$ )"

Dado que Qiaochu ha dicho en los comentarios a mi pregunta que sospecha que el Lemma de Burnside puede ser categorizado, y que esto puede estar relacionado, también he añadido esa etiqueta.

Answer 1

No estoy seguro de llamar a esto una categorización, pero la forma en que pienso en el Lemma de Burnside es la siguiente.

Considere el subconjunto $Z \subset G \times X$ que se compone de pares $(g,x)$ tal que $g\cdot x =x$ , donde por $\cdot$ Me refiero a la acción de $G$ sur $X$ .

El producto cartesiano $G \times X$ viene con las dos proyecciones $\pi_G : G \times X \to G$ y $\pi_X : G \times X \to X$ y se puede calcular la cardinalidad de $Z$ ya sea a lo largo de las fibras de $\pi_G$ o a lo largo de las fibras de $\pi_X$ El primero te da la suma sobre los conjuntos de puntos fijos, mientras que el segundo te da una suma sobre los estabilizadores. Entonces el teorema del estabilizador de la órbita hace el resto.

Gracias a @Arrow que me indicó que el enlace de mi comentario estaba roto. Aquí está, con suerte, un enlace que funciona a el mismo documento de una página .

Answer 2

Se puede considerar el lema de Burnside como un caso especial del teorema ergódico medio, que relaciona las medias temporales con las espaciales, lo que puede calificarse como "equiparación de dos objetos del mismo tipo". Por otra parte, el teorema de la ergodicidad media es más complicado que el lema de Burnside, por lo que esto puede no ser una explicación intuitiva.

No obstante: dada una acción preservadora de la medida de un grupo susceptible $G$ en un espacio $X$ el teorema ergódico medio nos dice que

$$ {\bf E}_{g \in G} \langle T_g f, f \rangle_{L^2(X)} = \| \pi(f) \|_{L^2(X)}^2,$$

donde $\pi(f)$ es la proyección ortogonal de $f$ a la $G$ -funciones invariantes, y $T_g f(x) := f(g^{-1} x)$ y ${\bf E}_{g \in G}$ es una media en $G$ .

Si se aplica esto a la acción unilateral $g: (x,y) \to (gx,y)$ en el espacio del producto $X \times X$ equipado con medida de conteo, con $f$ igual a la función delta de Kronecker $f(x,y) = \delta_{x,y}$ , $\pi(f)$ es igual a $1/|O|$ en la plaza $O \times O$ de cada órbita $O$ y así se obtiene

$$ {\bf E}_{g \in G} |X^g| = |X/G|$$

que es el lema de Burnside.

Answer 3

Algunas reflexiones. $X$ define una representación $V = \mathbb{C}^X$ de $G$ con carácter $\chi(g) = \text{Fix}(g)$ y la proyección de $V$ a su subespacio invariante es $\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} g$ por lo que la traza de la proyección (que es la dimensión de su imagen) es $\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi(g)$ . Por otro lado, el subespacio invariante de $\mathbb{C}^X$ se extiende por sumas sobre órbitas, por lo que su dimensión es el número de órbitas. Dicho así, el lema de Burnside puede considerarse como una "fórmula de rastreo" que relaciona una cantidad "geométrica" (el número de órbitas) con una cantidad "espectral" (la suma de puntos fijos). El valor de otros resultados más fuertes de este tipo es precisamente que los objetos de ambos lados son no del mismo tipo, por lo que quizá no sea natural esperar que estén más relacionados que eso.

(He intentado una categorización en $G\text{-Set}$ pero no llevó a ningún sitio interesante).

Answer 4

Hace poco vi una discusión sobre este lema en un artículo de combinatoria. Va en la línea de lo siguiente: Queremos contar órbitas de X bajo la acción de G. No sabemos cómo elegir representantes de cada órbita, así que vamos a contarlas todas (¿relacionando así esto con tu otra pregunta?), convenientemente descontadas. Así, $$|X/G| = \sum_{x \in X} \frac{1}{|Gx|}$$ donde $Gx$ es la órbita de $x \in X$ bajo la acción de G. Una aplicación del teorema del estabilizador de la órbita da como resultado $$|X/G| = \frac{1}{|G|} \sum_{x \in X} |G_x|$$ y entonces se sigue la fórmula habitual reconociendo que la suma no es más que la cardinalidad del conjunto $\{ (g, x) \in G \times X : g \cdot x = x \}$ (Z en la notación del post de José).

Supongo que la pregunta natural (juego de palabras) que hay que hacerse es si existe una biyección natural entre el $G \times X/G$ y la unión disjunta $Z = \displaystyle \coprod_{g \in G} X^g$ . Si hay uno, no es inmediatamente obvio para mí... Sospecho que no lo hay, simplemente porque $G \times X/G$ es una unión disjunta sobre G de conjuntos del mismo tamaño, mientras que $Z$ es una unión disjunta sobre G de conjuntos de diferentes tamaños.