¿Qué variedades casi complejas admiten una estructura compleja?

Question

Estaba leyendo la lista de problemas en geometría de Yau, y uno de ellos es demostrar que cualquier colector casi complejo de dimensión compleja $n \geq 3$ admite una estructura compleja. Ha pasado algún tiempo desde que se publicó la lista de Yau, así que ¿cuál es la situación de este problema en la actualidad?

Obviamente no se ha demostrado que sea cierto, porque todavía estamos buscando estructuras complejas en la sexta esfera, pero tengo la vaga sensación de haber leído que esto no se sostiene. Entonces, ¿conocemos algún contraejemplo a esta cuestión? Si no es así, ¿alguien está trabajando en este problema?

Además, Yau sólo planteó el problema para las variedades de dimensión $n \geq 3$ . Sabemos que esto es cierto en dimensión uno, porque allí tenemos coordenadas isotérmicas que dan estructuras complejas, pero ¿por qué Yau no mencionó las superficies casi complejas? ¿Sabemos que esto se cumple allí, o hay contraejemplos en dimensión 2?

Answer 1

En realidad hay contraejemplos en la dimensión real $4$ .

Los primeros ejemplos de compactos casi complejos $4$ -que no admiten estructura compleja fueron producidos por Van de Ven en su artículo "Sobre los números de Chern de algunas variedades complejas y casi complejas" .

De hecho, obtuvo restricciones en los números de Chern de una superficie algebraica y construyó algunos casi complejos $4$ -que las violan, mostrando así que ninguna estructura casi compleja en estos ejemplos puede ser integrable.

Posteriormente, Brotherton construyó algunos contraejemplos con haz tangente trivial, véase el artículo "Algunos 4manifolds paralizables que no admiten una estructura compleja" .

Answer 2

En la dimensión compleja 3 o más es todavía una conjetura abierta (que fue replanteada por Yau hace un par de años en sus conferencias de la UCLA). No se conoce ningún ejemplo de una variedad casi compleja de dimensión $\geq$ 3 que no admite una estructura compleja.

En la dimensión 2 es fácil, por supuesto, porque las superficies complejas no Kähler se entienden mucho mejor que las de Kähler: toda superficie no Kähler con $b_1 >1$ es difeomorfo a una ampliación de un localmente trivial sobre una curva. Por lo tanto, cualquier de 4 dimensiones, casi compleja y compacta con impar $b_1 >1$ y un grupo fundamental no virtualmente isomorfo (*) a un producto cruzado de un grupo fundamental de una curva y $\mathbb{Z}$ no puede ser una superficie compleja.

(*) Aquí "virtualmente isomorfo" significa "isomorfo hasta un subgrupo de índice finito".