Puede un factor de matrices?

Question

Yo sé que uno puede factor enteros como un producto de números primos. Hay un análogo de la misma a las matrices? Podemos definir el primer matrices tales que cada matriz es un producto de primer matrices? Hay alguna aplicaciones de factorización de matrices?

Answer 1

en el ring $D_n (\Bbb{Z})$ de la diagonal de la matriz, podemos intentar definir un primer matriz de la siguiente manera: $(d_i)$ es primo si $(d_i)$ no nulos de la matriz , no la unidad de la matriz y todos los que no sean cero $d_i$ son números primos en $\Bbb{Z}$. este tipo de matriz de anillo conmutativa anillo, pero no se integre, y que la matriz se descompone en primer matriz, esta descomposición es inducida por la descomposición en $\Bbb{Z}$

Answer 2

Uno puede sin duda "factor" de las matrices, pero las más conocidas y útiles factorizations no tiene nada que ver con la "prime" de las matrices. Yo realmente no han llegado a través de este concepto (que se señala en uno de los comentarios). Sé que el primer ideales son una especie de generalización de los números primos, pero voy a dejar comentarios con respecto a este tipo de factorización para los expertos en álgebra abstracta.

Un excelente artículo sobre la factorización de la matriz es la siguiente: Mala productos de buena matrices. escrito por Paul Halmos.

La factorización es una de las preocupaciones centrales dentro de la investigación en la teoría de la matriz y álgebra lineal - aquí están som ejemplos típicos:

1. Plaza de cero factorización de matrices
2. Factorización de matrices singulares
3. Idempotente factorización de matrices
4. Nilpotent factorización de matrices
5. La matriz de la división con un idempotente divisor o el cociente

Si usted busca va a encontrar muchos más ejemplos. La pregunta más general que se le pide supongo, es si una matriz puede ser descompuesto que tiene un solo factor con una cierta propiedad idempotente divisor artículo anterior se refiere con este tipo de pregunta) - en este caso la matriz en cuestión no ha de ser cuadrada. Pero las preguntas más populares por lo general se centran alrededor de los operadores / matrices cuadradas y si que se puede descomponer exclusivamente en los factores de la satisfacción de alguna propiedad.

Va más allá - la mayoría de las formas canónicas en la teoría de la matriz son realmente sólo factorizations: diagonalización, Jordan en la forma racional de la forma canónica, reducción de la fila (fila de equivalencia) - todos estos son factorizations que al final sirve para revelar las propiedades tales como la clasificación de los correspondientes de la matriz, las bases para los espacios fundamentales, etc. Así que creo que, para resumir, es un rotundo "sí": uno puede factor de matrices, de hecho es muy central a este campo de estudio en general, pero la principal preocupación no es tanto para satisfacer un análogo exacto para la factorización de enteros en números primos. Los factores que tienen otras propiedades de interés, es decir, en diagonal, triangular, nilpotent, idempotente... de nuevo, tal vez este puede ser formalmente generalizada a algún equivalente de la factorización prima de un experto en álgebra abstracta.

Answer 3

En el espacio de Mnm de matrices. Cualquier matrice pueden ser factorizados para el producto de dos matrices. Usted no puede hacer la analogía con el espacio de los números enteros porque no tiene la misma estructura (no es un anillo).