demostrando que $X$ es medible si $X^{-1}(C')\subset\beta$

Question

Supongamos que $X:\Omega\rightarrow\Omega'$ donde $(\Omega,\beta)$ y $(\Omega',\beta')$ son dos espacios medibles. Supongamos que $C'$ generar $\beta'$ Cómo se puede mostrar $X$ es medible si $X^{-1}(C')\subset\beta$

Answer 1

Una implicación es fácil.

La otra se deduce del siguiente hecho :

Si $f : X \to Y$ es un mapa, $\mathcal{E}$ es un subconjunto de $\mathcal{P}(Y)$ entonces $f^{-1}(\sigma(\mathcal{E})) = \sigma(f^{-1}(\mathcal{E}))$ .

Answer 2

Dejemos que $C'$ sea un sistema de subconjuntos de $\Omega'$ tal que $\sigma(C')=\beta'$ . Supongamos que $X$ est $(\beta,\beta')$ -medible, es decir $X^{-1}(A)\in\beta$ para todos $A\in\beta'$ . Entonces, obviamente, tenemos que $X^{-1}(A)\in\beta$ para todos $A\in C'$ desde $C'\subseteq \beta'$ .

Supongamos ahora que $X^{-1}(A)\in \beta$ para todos $A\in C'$ . Si definimos $$ \Lambda=\{A\subseteq \Omega' \mid X^{-1}(A)\in\beta\}, $$ entonces, obviamente $C'\subseteq \Lambda$ . Ahora demuestre que $\Lambda$ es un $\sigma$ -(utilizando las propiedades de las preimágenes) porque entonces $\beta'=\sigma(C')\subseteq \Lambda$ y por lo tanto $X$ est $(\beta,\beta')$ - medible.