teoremas sobre las clases de equivalencia

Question

Tengo algunas pruebas cortas que deseo que se comprueben en relación con las clases equivalentes.

Supongamos que R es una relación de equivalencia sobre el conjunto X. Si $a, b \in X$ entonces

1. $a\in [a]$
2. $[a] = [b] \iff (a, b) \in R$
3. $[a]\cap[b]=\emptyset\iff(a, b)\notin R$

Para el número 1 entiendo que tengo que hacer la afirmación "cada elemento de X debe estar en una clase de equivalencia". Pero, ¿cómo puedo escribir una prueba rígida?

Para el número 2/3 tengo una idea mínima de cómo empezar. ¿Podría arrojar algo de luz a estas pruebas cortas por favor? Gracias.

Edición: Gracias Autor. Relación de equivalencia se define aquí como una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva.

Answer 1

Para $(1)$ , ya que $a\in X$ , $R$ es una relación de equivalencia, tenemos que $aRa$ . Por lo tanto, $a\in [a]$ . Porque $[a] = \{x: xRa\}$ .

Ahora para $(2)$ , Supongamos que $[a] = [b]$ . Ha deducido que $a\in [a]$ . Desde $[a]=[b]$ se puede deducir que $a\in [b]$ porque los conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Como $a\in [b]$ , $aRb \longrightarrow (a,b) \in R$ . Supongamos ahora que $(a,b)\in R$ . Sea $x\in [a]$ . Deseamos demostrar que $x\in [b]$ (para que $[a]\subseteq [b]$ ). Dado que $x\in [a]$ tenemos $xRa$ . Desde $R$ es una relación de equivalencia, $R$ es transitivo. Por hipótesis, $aRb$ . Por lo tanto, $xRa \land aRb \longrightarrow xRb$ para que $x\in [b]$ . Ahora dejemos que $y\in [b]$ . Deseamos demostrar que $y\in [a]$ . Por hipótesis, $aRb$ . Desde $aRb$ y $R$ es una relación de equivalencia, $R$ es simétrica y por lo tanto $bRa$ . Aplicando la transitividad, tenemos $yRb \land bRa \longrightarrow yRa$ Así que $y\in [a]$ . Por lo tanto, tenemos $[a] \subseteq [b] \land [b] \subseteq [a] \longrightarrow [a] = [b]$ .

Ahora para $(3)$ , asuma que $[a] \cap [b] = \emptyset$ . Más tarde suponer para la contradicción $(a,b) \in R$ . $(a,b) \in R \longrightarrow a\in [b]$ . Ya hemos deducido que $a\in [a]$ . Así que $\{a\} \subseteq [a]\cap [b] = \emptyset$ una contradicción. Ahora supongamos que $(a,b) \notin R$ . Deseamos demostrar que $[a]\cap [b] = \emptyset$ . Supongamos, por si acaso, que $[a]\cap [b] \ne \emptyset$ . Entonces hay un poco de $x$ tal que $xRa$ y $xRb$ . Desde $xRa$ y $R$ es simétrica, $aRx$ . Ahora bien, desde $aRx \land xRb$ por transitividad de $R$ tenemos que $aRb$ . Por lo tanto, $(a,b) \in R$ una contradicción.

Nota: : La mayoría de estas pruebas consisten en desentrañar definiciones, aplicarlas cuando sea necesario y seguir el olfato. Espero que esto ayude.

Answer 2

Supongo que $[a] := \{b\in X : (a,b)\in R\}$ ¿es eso cierto?

1. Usted sabe $(a,a)\in R$ para cualquier $a$ Así que...

2. $a\in [a] = [b]$ le dice que $(a,b)\in R$ . Esa es una dirección. Para la otra, digamos $(a,b)\in R$ . Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? $a\in [b]$ ou $a\notin [b]$ ?

3. Digamos que puede elegir algunos $x\in [a]\cap [b]$ . Entonces $(a,x)\in R$ y $(b,x)\in R$ . Ahora la transitividad de $R$ da...

Espero que eso ayude.