Ecuación de números enteros con cuadrados

Question

Dejemos que $p$ sea un número primo. Quiero demostrar que si $x$ , $y\in \mathbb{Z}$ satisfacen la ecuación $y^2=x^3+px$ entonces $x$ es un cuadrado o $p$ veces un cuadrado.

Mi enfoque es reescribir la ecuación como $y^2=x(x^2+p)$ y se puede demostrar que $x$ y $x^2+p$ son coprimos. A partir de ahí, usaría el teorema de Bezout de que $\exists u$ , $v\in \mathbb{Z}$ tal que $xu+(x^2+p)v=1$

Intenté dejar que $x^2+p=\frac{y^2}{x}$ y sustituyendo en la identidad de Bezout pero eso no me llevó a ninguna parte. ¿Algún consejo?

Answer 1

Dejemos que $d= gcd(x,y)$ . Entonces existe $a,b$ relativamente primo tal que $x=da$ y $y=db$ . Así que $$d^2b^2 = d^3a^3+pda \Longrightarrow db^2 = (d^2a^2+p)a \Longrightarrow a|db^2$$

Desde $a$ y $b$ son relativamente primos tenemos $a|d$ así que $d=ac$ para algún número entero $c$ . Ahora tenemos:

$$c(b^2-a^4c) = p \;\;\Longrightarrow \;\; c= 1\vee c= p$$

Si $c=1$ tenemos $a=d$ y así $x=a^2$ .

si $c=p$ tenemos $x= ad =a^2c = a^2p$ .