Inversa de una función con exponente variable

Question

Considere una función $f(x)$ como $x\mapsto 2e^x-\frac1{e^x}$ . ¿Cómo se encuentra $f^{-1}(x)$ ?

He intentado, logaritmos, elevar al cuadrado, sustitución, pero no fui capaz de aislar $x$ . La respuesta correcta, según Wolfram Alpha es $f^{-1}(x) = \log{\left(\frac14\left(x+\sqrt{x^2+8}\right)\right)}$ .

Answer 1

Si empiezas con

$$x=2e^y-e^{-y}$$

y multiplicar ambos lados por $e^y$ , se obtiene

$$x e^y=2e^{2y}-1$$

que se puede tratar como una ecuación cuadrática en $e^y$ . Utiliza la fórmula cuadrática para resolver $e^y$ (¡tenga cuidado al elegir las raíces!), deshaga la exponencial con el logaritmo, y tendrá el resultado que necesita.