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El máximo de un punto fuera de una elipse a una elipse.

En el xOyxOy ejes, Supongamos que existe una elipse x2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1 y un punto A(0,t)A(0,t) ( tt es una constante )fuera de la elipse. Supongamos que PP es un punto de la elipse. Encuentra el máximo de |PA||PA| . y el punto en el que se obtiene el máximo.


Mi enfoque:

Considero la función de parámetro de la elipse: x=acosθy=bsinθ

entonces obtenemos : |PA|2=(tbsinθ)2+a2cos2θ aparentemente, |PA|=a2+t2+(b2a2)sin2θ2btsinθ=f(θ)

f(θ)=2(b2a2)sinθcosθ2btcosθ entonces cosθ=0 ou sinθ=btb2a2 .

Si hacemos un dibujo, la solución aparente es θ=3π2 Esto es de cosθ=0 . y creo que esta es la única solución. Pero si |btb2a2|1 . ¿Significa esto que hay otra solución θ=arcsin(btb2a2) ?


¿Hay una forma geométrica de ver esta conclusión: el máximo se obtiene en (0,b) Muchas gracias.

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Steve Kass Puntos 5967

Si el punto inferior de la elipse, (0,b) es el más alejado de (0,t) entonces toda la elipse debe estar al menos tan cerca de este punto. En otras palabras, la elipse estará completamente dentro del círculo centrado en (0,t) y pasando por (0,b) (radio t+b ). Este será el caso si el radio de curvatura de la elipse en (0,b) (que es a2b ) es menor que el radio de curvatura del círculo (que es t+b ). La imagen siguiente muestra las elipses (posiblemente óvalos similares a una elipse) de cada caso. (Obsérvese que en el caso de la elipse más grande, los puntos más lejanos no están en la intersección con el círculo - serían los puntos en los que un círculo más grande es tangente a la elipse, y está claro que esos no estarían en los extremos izquierdo y derecho de la elipse.

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Thomas Puntos 6040

Hacer dibujos, uno para a casi del tamaño de b uno con grandes a y pequeños b y uno con pequeñas a y grandes b . Dependiendo de cómo se abulte la elipse, el mínimo y el máximo estarán en el y o el máximo estará cerca de (pero no en) el eje x -(el mínimo siempre estará en el eje y -eje). Esta observación se refiere al máximo absoluto. Las dos "otras soluciones" que se obtienen pueden coincidir con este máximo absoluto o ser máximos locales, dependiendo de cuál de las situaciones anteriores se produzca.

(Piensa en un cigarro. Si es "paralelo" al eje y, entonces un extremo del cigarro está lejos de (0,t) . Si es paralela al eje x, ambos extremos estarán lejos de (0,t) ).

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Thomas Puntos 6040

Sí, hay una forma geométrica de decidir si el punto (0,b) está a la máxima distancia de (0,t) . Nótese que esto no siempre es cierto, sino que depende de la forma de la elipse y del valor de t .

Sólo hay que dibujar un círculo con centro (0,t) de radio r=t+b .

Como el círculo es el lugar de los puntos de igual distancia r al centro, interseca la elipse sólo en (0,b) si y sólo si el punto (0,b) está a la máxima distancia de (0,t) En caso contrario, el círculo tendrá dos puntos adicionales de intersección con la elipse. Este razonamiento supone y es correcto sólo si (0,t) está fuera de la elipse.

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