El máximo de un punto fuera de una elipse a una elipse.

Question

En el $xOy$ ejes, Supongamos que existe una elipse $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ y un punto $A(0,t)$ ( $t$ es una constante )fuera de la elipse. Supongamos que $P$ es un punto de la elipse. Encuentra el máximo de $|PA|$ . y el punto en el que se obtiene el máximo.

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Mi enfoque:

Considero la función de parámetro de la elipse: $$\begin{matrix} x = a\cos \theta \\ y = b\sin \theta \end{matrix}$$

entonces obtenemos : $|PA|^2 = (t-b\sin \theta)^2 + a^2\cos^2 \theta$ aparentemente, $|PA| = a^2 + t^2+(b^2-a^2)\sin ^2 \theta -2bt \sin \theta = f(\theta)$

$$f'(\theta) = 2(b^2-a^2)\sin \theta \cos \theta - 2bt \cos \theta$$ entonces $\cos \theta = 0$ ou $\sin \theta = \frac{bt}{b^2-a^2}$ .

Si hacemos un dibujo, la solución aparente es $\theta = \frac{3\pi}{2}$ Esto es de $\cos \theta = 0$ . y creo que esta es la única solución. Pero si $\left|\frac{bt}{b^2-a^2}\right|\leq 1$ . ¿Significa esto que hay otra solución $\theta = \arcsin\left(\frac{bt}{b^2-a^2}\right)$ ?

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¿Hay una forma geométrica de ver esta conclusión: el máximo se obtiene en $(0,-b)$ Muchas gracias.

Answer 1

Si el punto inferior de la elipse, $(0,-b)$ es el más alejado de $(0,t)$ entonces toda la elipse debe estar al menos tan cerca de este punto. En otras palabras, la elipse estará completamente dentro del círculo centrado en $(0,t)$ y pasando por $(0,-b)$ (radio $t+b$ ). Este será el caso si el radio de curvatura de la elipse en $(0,-b)$ (que es $\dfrac{a^2}{b}$ ) es menor que el radio de curvatura del círculo (que es $t+b$ ). La imagen siguiente muestra las elipses (posiblemente óvalos similares a una elipse) de cada caso. (Obsérvese que en el caso de la elipse más grande, los puntos más lejanos no están en la intersección con el círculo - serían los puntos en los que un círculo más grande es tangente a la elipse, y está claro que esos no estarían en los extremos izquierdo y derecho de la elipse.

Answer 2

Hacer dibujos, uno para $a$ casi del tamaño de $b$ uno con grandes $a$ y pequeños $b$ y uno con pequeñas $a$ y grandes $b$ . Dependiendo de cómo se abulte la elipse, el mínimo y el máximo estarán en el $y$ o el máximo estará cerca de (pero no en) el eje $x$ -(el mínimo siempre estará en el eje $y$ -eje). Esta observación se refiere al máximo absoluto. Las dos "otras soluciones" que se obtienen pueden coincidir con este máximo absoluto o ser máximos locales, dependiendo de cuál de las situaciones anteriores se produzca.

(Piensa en un cigarro. Si es "paralelo" al eje y, entonces un extremo del cigarro está lejos de $(0,t)$ . Si es paralela al eje x, ambos extremos estarán lejos de $(0,t)$ ).

Answer 3

Sí, hay una forma geométrica de decidir si el punto $(0,-b)$ está a la máxima distancia de $(0,t)$ . Nótese que esto no siempre es cierto, sino que depende de la forma de la elipse y del valor de $t$ .

Sólo hay que dibujar un círculo con centro $(0,t)$ de radio $r=t+b$ .

Como el círculo es el lugar de los puntos de igual distancia $r$ al centro, interseca la elipse sólo en $(0,b)$ si y sólo si el punto $(0,-b)$ está a la máxima distancia de $(0,t)$ En caso contrario, el círculo tendrá dos puntos adicionales de intersección con la elipse. Este razonamiento supone y es correcto sólo si $(0,t)$ está fuera de la elipse.