Encuentre $g\in I$ tal que $LT(g)\notin \langle LT(g_1),LT(g_2),LT(g_3)\rangle$ .

Question

Dejemos que $I=\langle g_1,g_2,g_3\rangle\subset \Bbb R[x,y,z]$ donde $$g_1=xy^2-xy+y,\qquad g_2=xy-z^2, \text{ and } g_3=x-yz^4$$

Utilizando el orden lexicográfico encontrar $g\in I$ tal que $LT(g)\notin \langle LT(g_1),LT(g_2),LT(g_3)\rangle$

Aquí está mi intento

En orden lexicográfico tenemos $LT(g_1)=xy^2,\ LT(g_2)=xy,\ LT(g_3)=x$

Ahora el problema es encontrar un polinomio $g\in \Bbb R[x,y,z]$ tal que $g$ puede expresarse como una combinación lineal de $g_1,g_2,g_3$ pero $LT(g)\notin\langle LT(g_1),LT(g_2),LT(g_3)\rangle$ .

Supongo que $g=y^2$ que no está en $\langle LT(g_1),LT(g_2),LT(g_3)\rangle$ . Pero no sé cómo expresar $y^2$ como una combinación lineal de $g_1,g_2,g_3$ .

Answer 1

Set $g=g_1-yg_2+yg_3$ . Entonces $g\in I$ y su término principal no contiene $x$ .