Soy consciente de que la multiplicación de matrices, así como la composición de funciones, es asociativa, pero no conmutativa, pero ¿hay alguna otra operación binaria, concretamente cerrada sobre los reales, que mantenga esta propiedad? ¿Y puedes dar un ejemplo concreto?
Un raro ejemplo de la buena respuesta de una sola línea. Iba a la versión para zurdos, pero entonces, soy zurdo.
@hardmath: Yo también soy zurdo. Empecé con $\max$ pero la simetría lo hace conmutativo. Tal vez porque los números grandes están a la derecha me impulsó la versión de la derecha.
Si ya sabes que la multiplicación de matrices es asociativa, pero no conmutativa, entonces puedes elegir tu biyección favorita $f:\mathbb R\rightarrow M_2(\mathbb R)$ ya que los dos conjuntos son equinuméricos. Entonces, definamos $a\oplus b = f^{-1}(f(a)f(b))$ para conseguir una operación en $\mathbb R$ que es asociativo, pero no conmutativo. Si quieres tener también inversos, entonces puedes reemplazar $f$ con su mapa favorito de $\mathbb R$ a la invertible $2\times 2$ matrices.
En general, sin más estructura, se está preguntando de forma equivalente: "¿Existe alguna operación asociativa, pero no conmutativa, definida sobre un dominio de cardinalidad $|\mathbb R|$ ?" ya que el papel de $\mathbb R$ en la pregunta no es más que un conjunto.
FTR, esa operación no sólo sería no conmutativa, sino también extremadamente discontinua y fuertemente dependiente de la elección de la biyección. Esto no hace que sea un ejemplo menos válido, pero ciertamente está un poco en el lado patológico.
Si una pregunta tiene una respuesta patológica válida, y si eso le molesta, entonces la pregunta era incorrecta.
@RyanReich Una pregunta que me gustaría ver respondida aquí es si existe una operación de grupo topológico no abeliano en los reales.
Batominovski tiene otra respuesta en los comentarios a esta pregunta . Escribiré la comprobación:
Nuestro candidato es $x\circ y=|x|y$ . Entonces:
Así que esta solución de Batominovski encaja en el proyecto.
Sí, hay muchos otros productos bilineales sobre un espacio vectorial dado que son asociativos pero no conmutativos. Por ejemplo, las álgebras asociativas reales (no necesariamente conmutativas), véase también esta pregunta de MO .
Además, el álgebra de cuaterniones es un álgebra de división real que es asociativa pero no conmutativa.
Edición: Has añadido que el álgebra debe ser parte de los números reales. Entonces también tu ejemplo con el álgebra matricial ya no funciona.
¿Los cuaterniones forman parte de los números reales? ¿O es que me he perdido por completo lo que intentas decir? Acabo de empezar a aprender álgebra abstracta.
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Multiplicación de matrices es composición de funciones (de funciones lineales), por lo que realmente sólo tienes un ejemplo.