Cómo encontrar el determinante de esta matriz?

Question

Hoy en mi algebra lineal examen, no era esta la pregunta que yo no podía resolver.

Hubo una matriz $A$

$$A=\begin{bmatrix} n^{2} & (n+1)^{2} &(n+2)^{2} \\ (n+1)^{2} &(n+2)^{2} & (n+3)^{2}\\ (n+2)^{2} & (n+3)^{2} & (n+4)^{2} \end{bmatrix} $$

y hemos tenido que demostrar que $\det(A)=-8$.

Claramente, el cálculo del determinante, con la matriz como es, no era la manera correcta. Los cálculos fueron. Pero yo no podía pensar en ninguna otra manera de resolverlo.

Es allí cualquier manera de simplificar $A$, a fin de calcular el determinante?

Answer 1

Aquí es una prueba de que es, decididamente, no del libro. El factor determinante es, obviamente, un polinomio en n de grado en la mayoría de los 6. Por lo tanto, para probar que es constante, sólo necesita enchufar 7 valores. De hecho, -4, -3, ..., 0 son fáciles de calcular, por lo que sólo tiene que drudge a través de 1 y de 2 a hacerlo de esta manera !

Answer 2

Recordemos que $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$. Restando $\operatorname{Fila}_1$ de $\operatorname{Fila}_2$ y de $\operatorname{Fila}_3$ da $$ \begin{bmatrix} n^2 y (n+1)^2 y (n+2)^2 \\ 2n+1 y 2n+3 & 2n+5 \\ 4n+4 & 4n+8 & 4n+12 \end{bmatrix} $$ Luego de restar los $2\cdot\operatorname{Fila}_2$ de $\operatorname{Fila}_3$ da $$ \begin{bmatrix} n^2 y (n+1)^2 y (n+2)^2 \\ 2n+1 y 2n+3 & 2n+5 \\ 2 & 2 & 2 \end{bmatrix} $$ Ahora, restando $\operatorname{Col}_1$ de $\operatorname{Col}_2$ y $\operatorname{Col}_3$ da $$ \begin{bmatrix} n^2 & 2n+1 y 4n+4 \\ 2n+1 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ Finalmente, restando $2\cdot\operatorname{Col}_2$ de $\operatorname{Col}_3$ da $$ \begin{bmatrix} n^2 & 2n+1 & 2 \\ 2n+1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ Expandiendo el determinante sobre $\operatorname{Fila}_3$ da $$ \det a = 2\cdot\det \begin{bmatrix} 2n+1 & 2\\ 2 & 0 \end{bmatrix} =2\cdot(-4)=-8 $$ como se anuncia.

Answer 3

Que no es la mejor manera de hacerlo, pero es muy sencillo y funciona.

Para evitar desarrollando los cuadrados, he usado $a^2-b^2 =(a+b)(a-b)$ (e $a-b era$ siempre $1$ cuando la he usado). Luego, una vez tuve suficiente $0$s, yo simplemente exapended por la última columna.

$$\begin{array}{l} \begin{vmatrix} n^{2} & (n+1)^{2} &(n+2)^{2} \\ (n+1)^{2} &(n+2)^{2} & (n+3)^{2}\\ (n+2)^{2} & (n+3)^{2} & (n+4)^{2} \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} n^{2} & (n+1)^{2} &(n+2)^{2}-(n+1)^{2} \\ (n+1)^{2} &(n+2)^{2} & (n+3)^{2}-(n+2)^{2}\\ (n+2)^{2} & (n+3)^{2} & (n+4)^{2}-(n+3)^{2} \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} n^{2} & (n+1)^{2} &2n+3 \\ (n+1)^{2} &(n+2)^{2} & 2n+5\\ (n+2)^{2} & (n+3)^{2} & 2n+7 \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} n^{2} & (n+1)^{2}-n^{2} &2n+3 \\ (n+1)^{2} &(n+2)^{2}-(n+1)^{2} & 2n+5\\ (n+2)^{2} & (n+3)^{2}-(n+2)^{2} & 2n+7 \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} n^{2} & 2n+1 y 2n+3 \\ (n+1)^{2} &2n+3 & 2n+5\\ (n+2)^{2} & 2n+5 & 2n+7 \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} n^{2} & 2n+1 y 2n+3 \\ (n+1)^{2} &2n+3 & 2n+5\\ (n+2)^{2}-(n+1)^{2} & 2n+5-(2n+3) & 2n+7-(2n+5) \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} n^{2} & 2n+1 y 2n+3 \\ (n+1)^{2} &2n+3 & 2n+5\\ 2n+3 & 2 & 2 \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} n^{2} & 2n+1 y 2n+3 \\ (n+1)^{2}-n^{2} &2n+3-(2n+1) & 2n+5-(2n+3)\\ 2n+3 & 2 & 2 \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} n^{2} & 2n+1 y 2n+3 \\ 2n+1 &2 & 2\\ 2n+3 & 2 & 2 \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} n^{2} & 2n+1 y 2n+3-(2n+1) \\ 2n+1 &2 & 2-2\\ 2n+3 & 2 & 2-2 \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} n^{2} & 2n+1 &2 \\ 2n+1 &2 & 0\\ 2n+3 & 2 & 0 \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} n^{2} & 2n+1 &2 \\ 2n+1 &2 & 0\\ 2n+3-(2n+1) & 2-2 y 0-0 \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} n^{2} & 2n+1 &2 \\ 2n+1 &2 & 0\\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix}\\ Y= 2\begin{vmatrix} 2n+1 &2\\ 2 & 0 \end{vmatrix}\\ Y= -8 \end{array}$$