Coordiantes esféricos en calc vectorial

Question

Necesito evaluar esta triple integral

$$ \int^2_{-2} \int_0^{\sqrt{4-x^2}} \int_0^{\sqrt{4-x^2-y^2}} (x^2+y^2+z^2) \, dz \, dy \, dx $$

Mi solución:

Primero identifiqué el sólido como un cuarto de cono de helado delimitado por el cono $z=r$ y la esfera $z=\sqrt{4-r^2}$ . La línea de intersección del cono y la esfera se encuentra a partir de $z=\sqrt{4-r^2}$ Por lo tanto $z=r=3$ . En el plano xy tenemos un cuarto de círculo $ 0\leq\theta\leq\pi/2, 0\leq r\leq 3 $ . También, $ r\leq z\leq\sqrt{4-r^2} $ .

El sólido en coordenadas esféricas es $ 0\leq p\leq\sqrt{4}, 0\leq\alpha\leq\pi/4, 0\leq\theta\leq\pi/2 $ . Entonces el integrando es $p^2$

Solo me pregunto si esto es correcto y si es así como se configura la triple integración desde aquí y luego se evalúa.

Answer 1

Dejemos que $E$ sea el sólido en cuestión. Los límites de la $z$ integral son $z=0$ y $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ . Eso significa que la cara inferior del sólido está en el $xy$ -plano y la parte superior está en la esfera $x^2 + y^2 + z^2=4$ .

Mirando el $x$ y $y$ vemos que la proyección de $E$ en el $xy$ -es la región $$ D = \left\{(x,y)\mid -2 \leq x \leq 2,\ 0 \leq y \leq \sqrt{4-x^2}\right\} $$ Este es el medio disco superior de radio $2$ centrado en el origen. Así que $E$ es la parte de la bola de radio $2$ que satisface $y \geq 0$ y $z\geq 0$ .

Dibuja este sólido para visualizarlo en coordenadas esféricas. Tenemos $0 \leq \theta\leq\pi$ (la mitad del círculo en el plano ecuatorial), $0 \leq \phi\leq \frac{\pi}{2}$ (desde el polo norte hasta el ecuador), y $0 \leq \rho\leq 2$ (centro a la superficie). Así que $$\begin{split} \iiint_E (x^2+y^2+z^2)\,dV &= \int_0^\pi \int_0^{\pi/2} \int_0^2\rho^2(\rho^2\sin\phi)\,d\rho\,d\phi\,d\theta\\ &= \int_0^\pi \int_0^{\pi/2} \int_0^2\rho^4\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta\\ &= \int_0^\pi 1\,d\theta \cdot \int_0^{\pi/2} \sin\phi\,d\phi \cdot \int_0^2\rho^4\,d\rho \\ &= \pi \cdot 1 \cdot \frac{32}{5} = \frac{32\pi}{5} \end{split}$$

Answer 2

Dejemos que $r^2=x^2+y^2+z^2$ . Por el principio de Cavalieri/el método de la cáscara la integral de $r^2$ sobre el conjunto $r\leq 2$ viene dada por $$\int_{0}^{2} \rho^2\cdot 4\pi\rho^2\,d\rho = \frac{128\pi}{5}$$ y por simetría su integral es sólo un cuarto de la cantidad anterior.