Afirmaciones equivalentes sobre funciones medibles

Question

Dejemos que $(X,A,m)$ sea un espacio de medida con medida finita $m$ y $f,f_n:X\rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ sean funciones medibles.

1. Por cada $\delta>0$ existe $A_\delta\in A$ con $m(A_\delta)<\delta$ s.t. para cada $\epsilon$ hay un $N_\epsilon\in\mathbb{N}$ s.t. $$f_n(x)\leq f(x)+\epsilon$$ para todos $x\in X\backslash A_\delta$ y $n\geq N_\epsilon$ .

2. Por cada $\epsilon>0$ y $\delta>0$ existe $A_{\delta\epsilon}\in A$ con $m(A_{\delta\epsilon})<\delta$ y $N_{\delta\epsilon}\in\mathbb{N}$ s.t. $$f_n(x)\leq f(x)+\epsilon$$ para todos $x\in X\backslash A_{\delta\epsilon}$ y $n\geq N_{\delta\epsilon}$ .

   ¿Cómo puedo demostrar que estos dos son equivalentes?

Creo que $1\implies 2$ es fácil, ya que se toma $A_{\delta\epsilon}=A_{\delta}$ .
¿Cómo puedo conseguir la otra implicación?

Answer 1

Si 2. se mantiene, entonces podemos elegir para dado $\delta>0$ algunos $A_{\delta,k} \in \mathcal{A}$ tal que $m(A_{\delta,k})< \delta 2^{-k}$ y $$f_n(x) \leq f(x) + \frac{1}{k} \qquad \text{for all} \, \, x \in X \backslash A_{\delta,k}, n \gg 1.$$ Demuestra que $A_{\delta} := \bigcup_{k \geq 1}A_{\delta,k}$ hace el trabajo.