Dejemos que $(x_n)$ sea una secuencia convergente de números reales positivos tal que $\lim_{n\to\infty} x_n < 1$ . Demostrar que $\lim_{n\to\infty}x_n^n=0$

Question

Dejemos que $(x_n)$ sea una secuencia convergente de números reales positivos tal que $\lim_{n\to\infty}x_n < 1$ . Demostrar que $\lim_{n\to\infty}x_n^n=0$

Lo estoy intentando pero no consigo la respuesta.

Answer 1

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Answer 2

Dejemos que $x_n \rightarrow c$ , $0 \le c <1$ . Sea $\epsilon > 0$ ser pequeño y $|x_n - c| < \epsilon < 1 -c $ para todos $n$ lo suficientemente grande (más grande que algunos $N $ ).

Entonces $0\le x_n < c+\epsilon < 1$ .

Así que $0 \le x_n^n < (c+\epsilon)^n$ .

$(c+\epsilon)^n\rightarrow 0$ así que por la teoría del sándwich $0 <= \lim x_n^n < \lim (c+\epsilon)^n =0$

Answer 3

Es fácil reducirlo al caso en que $x_n<1$ para todos $n$ (¿por qué?).

Está claro que $\liminf x_n^n \geq0$ .

Dejemos que $A=\lim x_n$ . Arreglar $m \in \mathbb{N}$ . Tenemos que, si $n>m$ ,

$$x_n^n< x_n^m.$$

De ello se desprende que $$\limsup x_n^n \leq A^m.$$ Desde $A<1$ y esto es válido para cada $m \in \mathbb{N}$ se deduce que $\limsup x_n^n \leq 0$ . Por lo tanto, $\lim x_n^n=0$ .

Answer 4

$x_n^n=\exp(n\ln x_n)$ y $\ln x_n$ converge a $\ln \lim x_n<0$

Por lo tanto, $n\ln x_n$ va a $-\infty$ y $\exp(n\ln x_n)$ va a $0$ .