¿Explicación intuitiva de (por qué/cómo) la integración nos da el valor medio de una función continua?

Question

Me he encontrado con esta fórmula - $$\langle f(t) \rangle = \frac{1}{T}\int_0^T f(t) \, \mathrm{d}t$$

Para encontrar promedios en muchos lugares...que se demuestra usando integral definida como límite de una suma etc...Sin embargo no soy capaz de conseguir su explicación intuitiva , que puede hacer que este resultado parezca obvio(o al menos justificarlo lógicamente).... Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Creo que deberías mirar la representación geométrica de integrales de funciones continuas en $\mathbb{R}$ . Es fácil ver que al integrar, en realidad estamos sumando los valores de una determinada función en todos los puntos de un determinado intervalo (multiplicado por un peso $\text{dt}$ ). Ahora, cuando lo dividimos por la longitud del intervalo, obtenemos el valor medio de la función (como $\sum{\text{dt}}$ es la longitud del intervalo) No es formal, pero creo que es fácil visualizarlo así.

Answer 2

Una pista: Puede encontrar páginas $8$ a $24$ de _esta presentación útil. Proporcionan unos bonitos gráficos sobre la relación de \begin{align*} \frac{1}{b-a}\sum\{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x\qquad\text{and}\qquad \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \end{align*} con respecto a la media valor de una función.

Answer 3

Aquí hay una intuitiva. Considere la versión discreta de su función $f(n)$ con $n\in \mathbb{N}$ . La media de esta función sobre $0,1,...n$ es $$\langle f(n) \rangle=\dfrac{1}{n+1} \sum_{i=0}^{n}f(i)$$ Cuando $f$ es continua, se sustituye la suma por la integración.