Las EDP como herramienta en otros ámbitos de las matemáticas

Question

Según el gran número de artículos citados en la base de datos MathSciNet, las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) son un tema importante en sí mismo. No hace falta decir que es una herramienta extremadamente útil para las ciencias naturales, como la Física, la Química, la Biología, la Mecánica Continua, etc.

Lo que me interesa, aquí, son ejemplos en los que las EDP se utilizaron para establecer un resultado en otro campo matemático. Permítanme proporcionar algunos.

1. Topología. El teorema del índice de Atiyah-Singer.
2. Geometría. Prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré, siguiendo el programa de Hamilton.
3. Geometría algebraica real. Prueba de Lax de las desigualdades de Weyl para el polinomio hiperbólico.

Sólo un ejemplo por respuesta. Por favor, evite los ejemplos en sentido inverso, en los que otro campo matemático diga algo sobre las EDP (ejemplos: La fórmula de Feynman-Kac desde la probabilidad, los multisolitones desde las superficies de Riemann). Esto podría ser objeto de otra pregunta de MO.

Answer 1

Las EDP se utilizan masivamente en la teoría de los mapas armónicos.

Mi favorito es un bonito teorema de Lemaire y Sacks-Uhlenbeck.

Teorema. Supongamos que $M$ es una superficie de Riemann compacta, posiblemente con límite, $N \subset \mathbb R^n$ es compacto. Si $\pi_2(N) = 0$ , entonces cualquier mapa $u_0: M \to N$ es homotópico a un mapa armónico suave.

El ingrediente clave de la prueba se basa en la existencia y unicidad de soluciones globales de "energía" débil $u:\ M\times[0,\infty])\to N$ a un problema no lineal de Cauchy para la $L^2$ -flujo gradiente $$\begin{cases} u_t-\triangle_M u=A(u)(\nabla u,\nabla u)_M & \mbox{in }M\times[0,\infty),\\\ u=u_0 & \mbox{at }t=0\mbox{ and on }\partial M\times[0,\infty)\end{cases}$$ que convergen a un mapa armónico suave $u_{\infty}:\ M\to N$ como $t\to\infty$ .

Answer 2

Otra conexión no del todo conocida de Lax EDP hiperbólica libro: se puede, técnicamente hablando, extraer el Hipótesis de Riemann a partir de las tasas de dispersión de ciertas "ondas automórficas". (Aquí acaban mis conocimientos; los interesados pueden consultar el capítulo 9 del libro).

Answer 3

¿Qué tal la teoría de Hodge? Es decir, que cada clase de cohomología de DeRham de una variedad compacta lisa tiene un representante armónico (por supuesto, hay que elegir una métrica riemanniana para que tenga sentido lo de armónico). Esto, por ejemplo, permite demostrar que los números de Betti de una variedad compacta son todos finitos y es la forma habitual de demostrarlo (¿la única forma?).

Answer 4

Teorema de existencia de Riemann que afirma que toda superficie compacta de Riemann tiene una función meromorfa no constante (y por tanto es una curva algebraica). Las pruebas estándar utilizan funciones armónicas, es decir, soluciones de la ecuación de Laplace.

Answer 5

Algunas otras técnicas de EDP de probabilidad:

1) Percolación: La prueba de Aizenman Barsky del decaimiento exponencial en la percolación subcrítica se basaba en el establecimiento de una serie de desigualdades diferenciales.

2) Invariancia conforme y SLE: Muchas pruebas de invariancia conforme se reducen a mostrar que el proceso estocástico discreto en cuestión satisface un problema de valor límite de Riemann Hilbert junto con la definición de un flujo en el espacio de estado que es libre de divergencia y rizo. Esto aclara cómo la fórmula de Cardy surge como la función hipergeométrica que resuelve la ecuación diferencial apropiada.