Las EDP como herramienta en otros ámbitos de las matemáticas

Question

Según el gran número de artículos citados en la base de datos MathSciNet, las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) son un tema importante en sí mismo. No hace falta decir que es una herramienta extremadamente útil para las ciencias naturales, como la Física, la Química, la Biología, la Mecánica Continua, etc.

Lo que me interesa, aquí, son ejemplos en los que las EDP se utilizaron para establecer un resultado en otro campo matemático. Permítanme proporcionar algunos.

1. Topología. El teorema del índice de Atiyah-Singer.
2. Geometría. Prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré, siguiendo el programa de Hamilton.
3. Geometría algebraica real. Prueba de Lax de las desigualdades de Weyl para el polinomio hiperbólico.

Sólo un ejemplo por respuesta. Por favor, evite los ejemplos en sentido inverso, en los que otro campo matemático diga algo sobre las EDP (ejemplos: La fórmula de Feynman-Kac desde la probabilidad, los multisolitones desde las superficies de Riemann). Esto podría ser objeto de otra pregunta de MO.

Answer 1

Tal vez... Las ecuaciones de Cauchy-Riemann ... pueden haber sido utilizadas una o dos veces a lo largo de los años ...

Answer 2

El teorema de Hodge (cada clase de cohomología de Rham en una variedad compacta de Riemann tiene un único representante armónico) tiene una amplia gama de aplicaciones en la geometría algebraica compleja, mucho más allá de mostrar la dimensionalidad finita de la cohomología. Uno de mis resultados favoritos que dependen del teorema de Hodge es el teorema de incrustación de Kodaira, que caracteriza aquellas variedades complejas compactas que pueden incrustarse holomórficamente en el espacio proyectivo. Véase Griffiths-Harris. Que una variedad compacta tiene grupos de cohomología de dimensión finita puede demostrarse de forma más elemental. Estoy seguro de que esto se encuentra en alguna parte del libro de Bott-Tu.

Answer 3

El grupo de difeomorfismo de una superficie cerrada de característica de Euler negativa tiene componentes contráctiles. Este es el teorema de Earle y Eells (Journal of Differential Geometry 3, 1969). El ingrediente crucial para su demostración es la resolubilidad de la ecuación diferencial de Beltrami. Más tarde, Gramain encontró una prueba puramente topológica y bastante elemental de ese resultado, pero -al menos para mí- la prueba que utiliza las EDP es mucho más fácil de entender.

Answer 4

El trabajo de Uhlenbeck, Taubes, Donaldson y otros sobre las conexiones de Yang-Mills es una magnífica aplicación de la teoría de las EDP elípticas no lineales.

Answer 5

El teorema de la incrustación isométrica de Nash