¿La transformación de Abel es un isomorfismo topológico?

Question

Dado un grupo de Lie semisimple no compacto $G=NAK$ con el grupo de Weyl $W$ Consideremos el espacio simétrico $X=G/K$ . Sea $f$ sea una función en $D(X)^K$ el espacio de $K$ -funciones invariantes en $X$ . Entonces la transformada de Abel $$a^z\int_N f(an)dn$$ donde $z$ es complejo, es un isomorfismo topológico de $D(X)^K$ a $D(A)^W$ como álgebras de convolución. (Fuente: este libro )

Preguntas:

1. ¿Puede alguien indicarme una referencia de una prueba de este hecho?
2. ¿Existe un isomorfismo análogo si se restringe a funciones suaves y con soporte compacto?
3. En concreto, me gustaría utilizar $G=SL_2({\bf R})$ que no es semisimple. ¿Sigue siendo válida la afirmación?

Answer 1

Encontré la respuesta a mi propia pregunta en esta pregunta del modus operandi , en particular en la SL(2,R) de Lang de referencia.