¿Por qué un polinomio de cuarto grado nunca tienen tres reales y un complejo de raíz?

Question

Parece que un polinomio de cuarto grado, (grado 4) cualquiera puede tener 0 real, 1 real, 2, o 4 raíces reales, y el resto es de raíces complejas. ¿Por qué no tiene 3 raíces reales y 1 complejo?

Answer 1

Si $z$ es una raíz de un real polinomio, decir $p(z) =\sum_{j=0}^n r_jz^j = 0$, $\overline{z}$ también es una raíz de $p$$p(\overline{z}) =\sum_{j=0}^n r_j\overline{z}^j = \sum_{j=0}^n r_j\overline{z^j}= \sum_{j=0}^n \overline{r_jz^j} = \overline{p(z)} = 0$. Por lo tanto, no las raíces reales de la real polinomios siempre vienen en pares y su número es así incluso.

No hay ninguna restricción (pero el grado) en el número de raíces reales, aunque es posible que el polinomio de grado $4$ $3$ bienes raíces también, como $x^2 (x-1)(x-2)$.

Answer 2

Que le dijo un polinomio de cuarto grado no tiene 3 raíces reales.? Se puede tener siempre los coeficientes son complejas... Si los coeficientes tienen que ser real, entonces usted debe ver que para cancelar la $i$ de una raíz que no debe ser uno de los más $i$ en otra raíz.!

Answer 3

vamos a las raíces reales de ser $x_1,x_2 , x_3$ y el complejo de ser$C$, entonces el polinomio se convierte en $$p(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-C)$$ this makes polynomial have complex coefficients as only complex part of equation is $C$ , por lo tanto el cuarto grado no puede tener tres reales y un complejo de raíz

Answer 4

si es así, entonces por el complejo conjugado de la raíz teorema, hay un conjugado de la raíz por lo tanto elevar el grado de $4$ $5$que no es el caso.