Para un $G(x,t)$ , lo hace $f_t=2G_xf+Gf_x$ , $f(x,0)=0$ tienen una solución única para $f$ ?

Question

Hace un tiempo hice la siguiente pregunta en Math Stackexchange aquí pero no obtuvo una respuesta correcta.

Dejemos que $f(x,t)$ y $G(x,t)$ sean funciones suaves de $\mathbb R^2\to\mathbb R$ .

La PDE $$\dfrac{\partial}{\partial t}f(x,t)=2f(x,t) \dfrac{\partial}{\partial x}G(x,t)+G(x,t)\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,t)$$ se aplica a todos los $\mathbb R^2$ . Además, impongamos la condición $$f(x,0)=0, \forall x\in \mathbb R$$

¿Es necesariamente cierto que $f(x,t)=0$ para todos $(x,t)\in\mathbb R^2$ ?

Comentaré que es fácil demostrar que esto es cierto si $f$ se supone que es analítico, pero parece bastante difícil si no tengo esta suposición. Mediante algunos trucos básicos de las EDP (método de las características, etc.) es posible demostrar una versión local de este resultado: que para una $x$ Hay un pequeño $\epsilon(x)$ tal que $f(x,t)=0$ para todos $0<t<\epsilon(x)$ pero esto no es suficiente para mis propósitos.

Answer 1

La respuesta es "No, no es necesariamente cierto que $f(x,t)=0$ para todos $(x,t)\in\mathbb{R}^2$ ".

He aquí un contraejemplo: Sea $G(x,t) = x^2$ y que $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea cualquier función suave que desaparece de orden infinito en $0\in\mathbb{R}$ . Ahora defina $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ exigiendo que $f(x,t) = 0$ cuando $xt\le1$ (que incluye la "línea inicial") $t=0$ así como la línea $x=0$ ), mientras que $$ f(x,t) = \frac{1}{x^4}\,h\left(\frac{xt-1}{x}\right) $$ cuando $xt\ge1$ . Entonces $f$ es suave y satisface la ecuación y las condiciones iniciales, pero $f$ no tiene por qué desaparecer en las regiones donde $xt > 1$ .