Problema de desigualdades matemáticas: encontrar el número de posiciones de x

Question

Me encontré con este pregunta aquí mientras practicaba para una próxima competición.

El problema es el siguiente:

Petr se encuentra en la línea de n personas, pero no sabe exactamente qué posición ocupa. Puede decir que hay nada menos que a personas de pie frente a él y no más de b gente de pie detrás de él. Encuentra el número de posiciones diferentes que puede ocupar Petr.

Entrada

La única línea contiene tres enteros n , a y b $(0a,b<n100)$ .

Salida

Imprime el número único - el número de las posiciones buscadas.

Ejemplos

entrada

3 1 1

salida

2

entrada

5 2 3

salida

3

Y la explicación editorial es la siguiente:

Recorramos cada elemento y comprobemos si se ajusta a las condiciones $ai-1$ y $n-ib$ (para i de 1 a n ). La primera condición puede convertirse en $a+1i$ y la condición $n-ib$ en $n-bi$ entonces la condición general se puede escribir $max(a+1,n-b)i$ y entonces nuestra respuesta puede ser calculada por la fórmula $n-max(a+1,n-b)+1$ .

Desgraciadamente, repasando el editorial, no soy capaz de conseguir una comprensión intuitiva de cómo la expresión matemática $n-max(a+1,n-b)+1$ llegó.

¿Podría alguien dar una explicación intuitiva de la solución a este problema?

Gracias de antemano.

Answer 1

Sabemos que hay al menos $a$ posiciones ante Petr y como máximo $b$ posiciones después de Petr.

Dejemos que $i$ ser un posible puesto para Petr. Entonces $1,2,...,i-1$ son las posiciones frente a Petr y este número, $i-1$ debe ser al menos $a$ es decir $i-1\ge a\implies i\ge a+1$ lo que equivale a $a+1\le i$ .

Las posiciones después de Petr son $i+1, i+2, ..., n$ y el número de estos es $n-i$ que debe ser como máximo $b$ . Por lo tanto, $n-i\le b\implies n-b\le i$ .

Dado que ambos $a+1$ y $n-b$ son menores o iguales a $i$ el máximo de los dos es menor o igual a $i$ . Tomamos este número $m=\text{max}(a+1,n-b)$ para ser la posición mínima que puede ocupar Petr.

Ahora Petr puede ocupar posiciones $m,m+1,...,n$ y el número de estos es $n-(m-1)=n-m+1$ que es la fórmula por la que preguntaste.