demostrar que $\operatorname{ch}(t) \leq e^{\frac{t^2}{2}}$

Question

Dejar $t$ sea un número real .

demostrar que : $\operatorname{cosh}(t) \leq e^{\frac{t^2}{2}}$

se impuso utilizar series de potencias de las dos funciones para demostrarlo .

Tengo para cada real $t$ :

$\operatorname{cosh}(t)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{ t^{2n}}{(2n)!}$

$e^{ \frac{t^2}{2}}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ t^{2n}}{2^nn!}$

1-¿Qué se supone que debo comentar?

2- En general, ¿es el uso de series de potencias un buen método para mostrar desigualdades?

Editar:

como una pista que me han dado :

Lo demostraré:

$(2n)! \leq 2^n n$

utilizando la recurrencia tengo $(2(n+1))!=(2n)!(2n+1)(2n+2) \leq 2^n n(2n+1)(2n+2) \leq 2^{n+1} (n+0,5)(n+1) \leq 2^{n+1}(n+1)$

Answer 1

Tenemos que demostrar que $$\frac{e^t+e^{-t}}{2}\leq e^{\frac{t^2}{2}}$$ o $f(t)\geq0,$ donde $$f(t)=\frac{t^2}{2}+t+\ln2-\ln(e^{2t}+1).$$ Pero $$f''(t)=\left(\frac{e^{2t}-1}{e^{2t}+1}\right)^2\geq0,$$ que dice que $f'$ aumenta.

También, $$f'(t)=t+1-\frac{2e^{2t}}{e^{2t}+1},$$ que da $f'(0)=0$ y para $t=0$ $f$ obtiene un valor mínimo.

Id est, $$f(t)\geq f(0)=0$$ ¡y hemos terminado!

Además, puede utilizar ese $f(0)=f'(0)=0$ y $f''(t)\geq0$ para todos los reales $t$ y $f''(\theta)\geq0.$