mala reducción de una superficie racional

Question

Dejemos que $X$ sea el estallido de $\mathbb{P}^2_{\mathbb{Q}}$ en cuatro puntos racionales de una línea. ¿Se puede demostrar que $X$ tiene una mala reducción a 2? ¿O es que $X$ ¿tiene secretamente una buena reducción a 2?

Lo que sí se puede asegurar es que los cierres en $\mathbb{P}^2_{\mathbb{Z}}$ de cualquiera de estos cuatro puntos no puede ser disjunta sobre $(2)\in{\rm Spec\ }\mathbb{Z}$ ya que cada línea racional en $\mathbb{P}^2_{\mathbb{F}_2}$ contiene sólo 3 puntos racionales. Si (uno de) los cocientes cruzados de los cuatro puntos es $a/b$ con ${\rm gcd}(a,b)=1$ la misma consideración sugiere que $X$ tiene una mala reducción en $p$ si $p\mid a$ o $p\mid b$ o $p\mid(a-b)$ .

Answer 1

Tienes toda la razón en que para 4 puntos racionales cualesquiera de la recta proyectiva, dos tienen reducciones iguales mod dos. Sin embargo, como señala ulrich, esto no crea una singularidad de la superficie subyacente.

La razón es que si explotamos $[1,0,0], [0,1,0],[1,1,0]$ en $\mathbb P^2_{\mathbb Z}$ , digamos, podemos entonces ampliar, no la imagen inversa de la copia de $\operatorname{Spec} \mathbb Z$ definido por $[1,-1,0]$ sino su transformación estricta. La transformada estricta puede definirse como el cierre en la superficie ampliada del punto racional correspondiente. A partir de esto es fácil ver que la transformada estricta es isomorfa a $\operatorname{Spec} \mathbb Z$ y que la superficie es lisa en ella, por lo que no hay problema en soplar para obtener una superficie lisa.

Explícitamente, podemos ver que la transformación estricta de $[1,-1,0]$ se cruza con $[1,1,0]$ en la dirección dada por $\frac{ [1,-1,0]- [1,1,0]}{2} = [0,-1,0]$ - es decir, en la intersección del divisor excepcional y la transformada estricta de la recta en la que se encuentran ambos puntos.