Prueba de que la preimagen del álgebra sigma es el álgebra sigma, complemento

Question

Tengo una duda más sobre la prueba de que la preimagen de una sigma-álgebra es también una sigma-álgebra.

Dados son de nuevo los conjuntos X,Y y un mapa f: X $\rightarrow$ Y, si B es un $\sigma$ -en Y, entonces demostraremos que

$\mathcal{A} = \{f^{-1}(E) ; E \in B\}$ es un $\sigma$ -en X.

Ahora quiero mostrar que para $A \in \mathcal{A}$ se deduce que $A^c \in \mathcal{A}$ .

Bueno, primero podemos demostrar que $f^{-1}(E)^c = f^{-1}(E^c)$ , ya que $f^{-1}(E)^c = \{x \in X; f(x) \neq E\} = \{x \in X; f(x) = E^c\} = f^{-1}(E^c)$ . Y $f^{-1}(E^c)$ está en $\mathcal{A}$ ya que B es una sigma-álgebra.

¿Cómo puedo demostrar ahora que $A^c \in \mathcal{A} = f^{-1}(E^c)$ ?

Answer 1

No veo el problema: tienes las piezas necesarias. Deja que $A\in\mathcal{A}$ Entonces $A=f^{-1}[E]$ para algunos $E\in\mathcal{B}$ y $$A^c=\left(f^{-1}[E]\right)^c=f^{-1}\left[E^c\right]\in\mathcal{A}\;,$$ desde $E^c\in\mathcal{B}$ .

Su argumento de que $\left(f^{-1}[E]\right)^c=f^{-1}\left[E^c\right]$ necesita una pequeña reparación, pero sospecho que los errores son tipográficos más que sustanciales.