Función de distribución

Question

Encuentra (sin usar el MGF) la media y la varianza.

$$f(x) = \exp(-kx)x^{(r-1)}k^r/(r-1)!\ \text{ for }\ x>=0$$

$$f(x) = 0\ \text{ for }\ x<0$$

$r$ número entero positivo, $k>0$

Answer 1

En realidad, la respuesta ya está en la pregunta, mirándonos a la cara. Lo único que tenemos que hacer es interpretarla adecuadamente.

Mira las constantes en la definición de $f$ : $k^r$ dividido por $(r-1)!$ . El primer factor debe ser realmente absorbido por el $x$ y el implícito $dx$ . Es decir,

$$k^r x^{r-1} dx = (kx)^{r-1} d(kx).$$

Esto deja claro que la distribución es realmente una función de $kx$ , revelando $k$ como factor de escala. Si podemos encontrar la media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ para $k=1$ sólo tendríamos que dividirlos por $k$ y $k^2$ , respectivamente, para obtener la respuesta totalmente general.

Esta observación reduce la cuestión a la búsqueda de varios momentos de

$$f_r(x) = \frac{x^r \exp(-x)}{x (r-1)!}.$$

Sólo hay una constante ahí, y debe estar ahí para asegurar que esta distribución se integre a la unidad. (Esa es la importancia de la insinuación de @jbowman en los comentarios.) En otras palabras, usted ya sabe que

$$\int_0^\infty x^r \exp(-x) \frac{dx}{x} = (r-1)!.$$

Para encontrar el $j$ momento ( $j=1,2$ son todo lo que se necesita), debe obtener una fórmula para

$$\int_0^\infty x^j f_r(x) dx = \int_0^\infty x^j\left(x^r \exp(-x) \frac{dx}{x}\right) = \int_0^\infty x^{r+j} \exp(-x) \frac{dx}{x}.$$

Ahora sólo hay que aplicar la penúltima fórmula a esta expresión para obtener las respuestas. Dejo los detalles -que son de álgebra simple, ya que la integración se ha hecho- al lector interesado.