¿Bijectas suaves entre variedades suaves no diferenciadas?

Question

El ejemplo "de libro" de una biyección suave entre variedades suaves que no es un difeomorfismo es el mapa $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ enviando $x \mapsto x^3$ . Sin embargo, en este ejemplo, los colectores de origen y destino son difeomorfo - sólo que no por el mapa dado. ¿Hay algún ejemplo de una biyección suave $X \rightarrow Y$ de variedades suaves donde $X,Y$ no son difeomórficos en absoluto? (y si es así, ¿qué?)

(Por ejemplo, ¿es posible disponer una biyección suave de una esfera a una esfera exótica, dejando de ser un difeomorfismo debido a la existencia de puntos críticos? o ¿los homeomorfismos entre diferentes estructuras suaves sobre esferas dejan de ser suaves en todas partes de alguna manera catastrófica?)

Answer 1

Toda variedad lisa tiene una triangulación lisa, lo que da lugar a un pseudofuntor de la categoría de variedades lisas a la categoría de variedades PL. (Si dos variedades lisas son isomorfas en PL, la respuesta es sí. Se puede empezar con el isomorfismo de PL, y luego construir un homeomorfismo que lo siga y que tenga la propiedad de que todas las derivadas desaparecen en todas las direcciones perpendiculares a cada simplex. Se puede construir el homeomorfismo por inducción a partir del $k$ -esqueleto al $(k+1)$ -esqueleto utilizando las funciones de bump.

La conjetura de PL Poincaré es cierta en dimensiones distintas de 4, por lo que todas las esferas exóticas de la misma dimensión $n \ge 5$ son homeomorfos PL. (Se ha calculado que los ejemplos de esferas exóticas de alta dimensión comienzan en la dimensión 7). En dimensión 4, por el contrario, cada colector PL tiene una estructura lisa única, y no se sabe si hay esferas exóticas.

Por otro lado, si las variedades son homeomórficas pero ni siquiera PL, entonces no lo sé. Se sabe que toda variedad de dimensión $n \ge 5$ tiene una estructura Lipschitz única, pero no conozco una versión Lipschitz del argumento anterior. En el lado positivo, pasar de suave a Lipschitz es un functor real, por lo que la respuesta a una pregunta modificada, hay un homeomorfismo Lipschitz-suave, es sí, e incluso se puede hacer bi-Lipschitz.