Transformada de Fourier de $L^1$ ¿función cuadrada sumable?

Question

Se sabe que para un $L^1$ función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ la transformada de Fourier desaparece en el infinito y es continua. ¿Significa esto que $(\hat{f}(n))_{n \in \mathbb{Z}}$ ¿es sumable al cuadrado?

Answer 1

Al menos no significa que $\hat{f} \in L^2(\mathbb{R})$ porque entonces por el teorema de Plancherel $f$ mismo tendría que ser $L^2$ . Pero esto puede fallar; por ejemplo $f(x)=x^{-2/3} \chi_{(0,1]}(x)$ es $L^1$ pero no $L^2$ . Me imagino que $\hat{f}(n)$ no es sumable en $\mathbb{Z}$ tampoco (al menos con un ejemplo como el mío que está bastante lejos de ser $L^2$ en lugar de $x^{-1/2} \chi_{(0,1]}(x)$ que es "casi" $L^2$ ).

Answer 2

Dejemos que $$ f_a(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|}} \chi_{[-a,a]} $$ Observe que $f_a \in L^1$ pero no en $L^2$ .

Ahora sólo hay que calcular la transformada de Fourier y jugar con $a$ . \begin{align} \hat{f_a}(y) &= \int_{-a}^a \frac{1}{\sqrt{|x|}}e^{-iyx} \, dx \\ &=\int_0^a\frac{1}{\sqrt{x}}e^{-iyx}+\frac{1}{\sqrt{x}}e^{iyx} \,dx \\ & =2 \int_0^{\sqrt{a}}e^{-iys^2} + e^{iys^2} \, ds. \end{align}

Bien, ahora calcula el primer término con este truco: \begin{align} \left( \int_0^{\sqrt{a}}e^{-iys^2} \, ds \right)^2 &=\left( \int_0^{\sqrt{a}}e^{-iys^2} \, ds \right)\left( \int_0^{\sqrt{a}}e^{-iyt^2} \, dt \right) \\ &=\int_0^{\sqrt{a}}\int_0^{\sqrt{a}}e^{-iy(s^2+t^2)} \, dt \,ds \\ &=\int_0^{2\pi} \int_0^\sqrt{a}re^{-iyr^2} \, dr \, d\theta \\ & =2 \pi \frac{1}{-2iy}\int_0^{\sqrt{a}}-2iyre^{-iyr^2} \, dr \\ &=\frac{i\pi}{y}\left(e^{-iy\sqrt{a}} -1\right). \end{align}

De la misma manera se puede calcular el segundo término y obtenemos: $$ \hat{f_a}(y)=2\sqrt{\frac{\pi i}{y}}\left( \sqrt{e^{-iya}-1} + \sqrt{1-e^{iya}} \right). $$

Si eliges $a=2 \pi$ se obtiene que $\hat{f_{2 \pi}}(n)=0$ es decir $(\hat{f_{2 \pi}}(n))_n$ es sumable al cuadrado.

Pero si eliges $a=\frac{\pi}{2}$ de lo que se obtiene que $\hat{f_{\frac{\pi}{2}}}(n) \sim \frac{1}{\sqrt{n}}$ que no es sumable al cuadrado.

Esto significa que no se puede decir nada sobre $\hat{f}(n)$ si ahora sólo que $f \in L^1$ . Creo que el problema es que los coeficientes de Fourier describen de forma única una función si está en $L^2$ . Pero esto no es cierto en $L^1$ .