Rastro de $x(x^\top x)^{-1}x^\top$

Question

Dejemos que $x_i^\top=(1,x_{1,i}\ldots,x_{d,i})\in\mathbb{R}^{1\times d+1}$ para $i\in\{1,\ldots, n\}$ linealmente independientes y $x\in\mathbb{R}^{n\times d+1}$ , donde el $i$ -en la fila de $x$ es igual a $x_i^\top$ . Quiero encontrar la traza de la matriz esta matriz, es decir $$\operatorname{tr}( x(x^\top x)^{-1} x^\top)$$ Es fácil demostrar que $$(x(x^\top x)^{-1} x^\top)^2=x(x^\top x)^{-1} x^\top$$ y $$(x(x^\top x)^{-1} x^\top)^\top=x(x^\top x)^{-1} x^\top$$ tal que la traza y el rango son iguales: $$\operatorname{tr}( x(x^\top x)^{-1} x^\top)=\operatorname{rk}( x(x^\top x)^{-1} x^\top)$$

Sin embargo, todavía me cuesta encontrar $\operatorname{rk}( x(x^\top x)^{-1} x^\top)$ . Mi opinión es que es $d$ oder $d+1$ pero no soy capaz de demostrarlo.

Se agradece cualquier pista o ayuda.

Gracias de antemano.

Answer 1

Tenga en cuenta que siempre que el producto $AB$ se define, tenemos $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ . De ello se desprende que $$ \operatorname{tr}(x[(x^\top x)^{-1}x^\top]) = \operatorname{tr}([(x^\top x)^{-1}x^\top]x) = \operatorname{tr}((x^\top x)^{-1}(x^\top x)) = \operatorname{tr}(I) = d+1. $$