¿De cuántas maneras puedes ordenar en línea las letras de la palabra $AAABBCDEFG$

Question

¿De cuántas maneras puedes ordenar en línea las letras de la palabra $AAABBCDEFG$ , de tal manera que $A$ o $E$ ¿será la primera letra?
Creo que hay $2$ opciones para la primera letra ( $E$ o $A$ ) y $9!$ opciones para el resto, y luego quiero dividir por $3!\cdot 2!$ (porque hay 3 A y 2 B), así que: $$\frac{2\cdot9!}{3!\cdot2!} = \frac{9!}{3!}$$ Pero... No estoy seguro porque cuando lo probé para versiones más pequeñas no dio la respuesta correcta. ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

No, no tiene razón.

Primer arreglo $A$ en primer lugar. Las otras 9 letras se pueden ordenar en $\frac{9!}{2!2!}=90720$

Ahora, arregla $E$ . Las otras 9 letras se pueden ordenar en $\frac{9!}{3!2!}=30240$

Entonces, las vías totales son $90720+30240=120960$

Answer 2

Hay dos casos a tratar - empezando por $A$ y que se inicie con $E$ .

Si empezamos con $A$ entonces hay $9!$ combinaciones, divididas por $2!$ reajustes de la $2$ restante $A$ y $2!$ para el $2$ reajustes de la $B$ 's. Si empezamos con $E$ entonces hay $9!$ combinaciones, divididas por $3!$ reajustes de la $3$ $A$ y $2!$ para el $2$ $B$ 's. El número total de posibilidades es: \begin{align*} \frac{9!}{2!2!} + \frac{9!}{2!3!} &= \frac{9!}{4} + \frac{9!}{12} \\ &= \frac{9!}{3} \\ &= 120960 \end{align*}

Answer 3

Contemos todas las palabras que empiecen por un $E$ : $$\frac{9!}{2!3!}$$ Y todas las palabras que empiezan por $A$ : $$\frac{9!}{2!2!}$$ Así que el resultado final es : $$\frac{9!}{3}$$