¿Norma L2 del gradiente?

Question

Me encontré con la expresión

$$\Vert\nabla f\Vert_{L^2(\Omega)}$$

para alguna función $f: \Omega \subset \mathbb R^2 \to \mathbb R$ pero no he podido encontrar la definición. ¿Puede alguien decirme cómo se $L^2$ ¿se define la norma de un gradiente?

Mi mejor suposición es

$$\sqrt{ \int_\Omega |\nabla f|^2 dx}$$

donde $|\nabla f|^2 = (\partial_{x_1} f)^2 + (\partial_{x_2} f)^2$ pero no estoy seguro de que esto sea correcto.

Answer 1

Normalmente se hace de la forma que has sugerido, porque así $L^2(\Omega,\mathbb{R}^2)$ (el espacio que $\nabla f$ vive, cuando la norma es finita) se convierte en un espacio de Hilbert.

Sin embargo, habría más opciones: si $\Vert\cdot\Vert_0$ es cualquier norma sobre $\mathbb{R}^m$ entonces $L^p(\Omega,\mathbb{R}^m)$ hereda una norma poniendo $\Vert (f_1,...,f_m)\Vert=(\int\Vert (f_1(x),\dots,f_m(x))\Vert_0^pdx)^{1/p}$ A menudo, uno toma por $\Vert\cdot\Vert_0$ la correspondiente $p$ -normas sobre $\mathbb{R}^m$ , como ha hecho en el caso $p=2$ también de forma intuitiva. Sin embargo, todas las normas obtenidas de esta manera son equivalentes.