¿Hay alguna forma de aproximar una suma de raíces cuadradas

Question

Estoy tratando de calcular una suma de raíces cuadradas $\sum\limits_{i=1}^n \sqrt{a + i}$ y después de luchar y buscar en Google me di por vencido en esto. ¿Hay alguna forma de obtener una fórmula cerrada para esta suma (en realidad incluso una aproximación con épsilon $10^{-4}$ sería suficiente)

Answer 1

Depende de lo grande que sea $n$ es. Podrías aproximarte por:

La zona verde es la suma exacta. La línea roja es el gráfico de $\sqrt{x + a}$ . La línea azul es el gráfico de $\sqrt{x + a + 1}$ (ambos para a = 0 para simplificar el gráfico). Comparando las áreas, se puede ver:

$$\underbrace{\int_{i=0}^{n} \sqrt{a+i} ~d i}_\text{Lower Bound} < \sum_{i=1}^n \sqrt{a + i} < \underbrace{\int_{i=0}^n \sqrt{a + i + 1} ~d i}_\text{Upper Bound}$$ Donc : $$\text{Lower Bound} = L = \frac {(2n + 2a)\sqrt{a + n} - (2a)\sqrt{a}}{3} $$ $$\text{Upper Bound} = U = \frac {(2n + 2a + 2)\sqrt{a + n + 1} - (2a + 2)\sqrt{a + 1}}{3}$$ $$\sum_{i=1}^n \sqrt{a + i} \approx \text{Average} = \frac{U + L}2$$

Por ejemplo, con $N=10^8$ y $A = 10$ , da:

Inferior: 666666766645.587
Media: 666666771646.6416
Actual: 666666771647.26367
Superior: 66666776647.696

Con $1 - \frac{\text{Average}}{\text{Actual}} = 9.3 \times 10^{-13}$

Cuanto más grandes sean sus números, más precisa será la aproximación, ya que la diferencia $\sqrt{a + i} - \sqrt{a + i - 1}$ está disminuyendo.

Answer 2

Para cada raíz cuadrada se podría utilizar la expansión de Taylor de $\sqrt{1+x}$ : $$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\ldots$$ Pero esto sólo funciona si $x<1$ lo que ocurriría, por ejemplo, si $n<a$ .