Dado un árbol $(T,\sqsubset)$ un mapa $\varphi: T\longrightarrow \mathbb{Q}$ conserva el orden si y sólo si $\varphi(x)<\varphi(y)$ si $x\sqsubset y$ . La noción de forzamiento $Fn^{op}(T,\mathbb{Q})$ de toda función parcial finita de $T$ en los racionales que conservan el orden es ccc y añade un mapa que conserva el orden de $T$ sobre los racionales en la extensión genérica.
En la secuela denotemos por $\mathcal{A}$ la clase de todos los árboles de Aronszajn. Mi pregunta es la siguiente. ¿Por qué la noción de forzamiento $\prod^{fin}_{T\in\mathcal{A}} Fn^{op}(T,\mathbb{Q})$ ¿es ccc? Para ver esto mi estrategia fue demostrar que para cada $\mathcal{I}\in [\mathcal{A}]^{<\omega}$ el producto $\prod_{T\in\mathcal{I}} Fn^{op}(T,\mathbb{Q})$ es ccc. También sé que el producto del árbol $T'=\oplus_{T\in\mathcal{I}} T$ es Aronszajn y por lo tanto $Fn^{op}(T',\mathbb{Q})$ es ccc pero, ¿hay alguna relación entre los posets $Fn^{op}(T',\mathbb{Q})$ y $\prod^{fin}_{T\in\mathcal{A}} Fn^{op}(T,\mathbb{Q})$ que permite ver que el último es ccc?
Se agradecerán todos los comentarios.
