He leído acerca de Blackwell apuesta del paradoja de la Inutilidad del armario. Aquí está el resumen: se presentarán dos sobres, $E_x$$E_y$. Los sobres contienen una cantidad aleatoria de dinero, pero usted no sabe nada acerca de la distribución del dinero. Abrir uno de ellos, cuánto dinero está ahí ($x$), y tienen que elegir: tome el sobre $E_x$ o $E_y$?
La futilidad del Armario se refiere a un matemático llamado Leonard Wapner: "de forma Inesperada, no es algo que se puede hacer, por debajo de la apertura de los otros sobres, para que tenga una mejor oportunidad de hacer lo correcto."
La idea, que parece mal para mí, es el siguiente: se elige un número aleatorio $d$. Si $d < x$, tome $E_x$. Si $d > x$, elija $E_y$.
Wapner: "Si d está entre x y y, a continuación, su predicción (como se indica d) se garantiza que sea correcta. Asumir esto ocurre con probabilidad p. Si d es inferior a la de x y de y, a continuación, su predicción se correcta sólo en el caso de que su número elegido x es el mayor de los dos. Hay una probabilidad de 50% de este. Del mismo modo, si d es mayor de ambos números, su predicción es correcta sólo si su elegido número es el menor de los dos. Esto ocurre con un 50 por ciento probabilidad".
Si la probabilidad de que $d$ $[x,y]$ es mayor que cero, entonces el promedio de éxito de este método es $\frac{1}{2} + \frac{p}{2}$. Esto significaría que, mediante la observación de una relación variable aleatoria nos da información adicional.
Creo que esto está equivocado, y que el problema reside en la elección de un azar -número entero. ¿Qué significa esto? Como, cualquier número entero? En ese caso, la probabilidad de $p$ que $d$ se encuentra entre $x$ $y$ es cero, debido a que tanto $x$ $y$ son finitos.
Si decimos que hay un límite en la cantidad máxima de dinero, decir $M$, o al menos elegir d de $1...M$, entonces la receta se reduce a la trivial asesoramiento de la elección de $E_y$ si $x < M/2$ y la elección de $E_x$ si $x > M/2$.
¿Me olvido de algo aquí?
EDITAR
OK, ahora me pongo a ver donde la aparente paradoja de que proviene. Me parecía imposible que una relación variable aleatoria puede proporcionar información adicional.
Sin embargo, tenga en cuenta que tenemos de elegir conscientemente una distribución de d. Por ejemplo, elegir los límites para una distribución uniforme, o $\lambda$ de la Poissionian de distribución, etc. Claramente, si estamos jugando para los cacahuetes, y elegimos la distribución de d ser uniforme en $[10^9, 2\cdot 10^9]$ de dólares, $P(d \in (x,y)) = 0$. Esta última probabilidad dependerá, en primer lugar, nuestro juicio de lo que puede ser en los sobres.
En otras palabras, si la técnica funciona, entonces la suposición de que no sabemos lo que es la distribución del dinero en los sobres (cómo la cantidad de dinero de los sobres fue elegido) es violado. Sin embargo, si realmente no sabes lo que es en los sobres, a continuación, en el peor de los casos, que no suelta nada de su aplicación.
EDIT 2
Otro pensamiento. Dado $x$, escojamos, para la elaboración de $d$, una continua no negativa de distribución tal que $P(d < x) = P(d > x)$. Nos permite hacer eso, estoy en lo correcto? Proceder como se indica - si $d < x$, podemos mantener el sobre, si $d > x$, podemos cambiar el sobre. El razonamiento no cambia, dependiendo de cómo se elige la distribución puede ser que $P(d \in [x, y]) > 0$ (o estoy equivocado?).
Sin embargo, en vista de cómo elegimos la distribución, lo que ahora hacemos es equivalente a un lanzamiento de la moneda. Se lanza una moneda, y si es cara, vamos a cambiar los sobres, si es que las colas, nos atenemos a la envolvente que tenemos. Donde estoy equivocado?
EDIT 3:
OK, lo tengo ahora. Si tenemos en la base de la función de probabilidad de $d$ $x$ (por ejemplo, nos muestra $d$ a partir de una distribución uniforme en el rango de $(1, 2 \cdot x)$, entonces la probabilidad de a $P(d \in (x,y))$ no es independiente de $P(\text{correct decision}|d \notin (x,y))$.
Por lo tanto, si $d \in (x,y)$ (con una probabilidad de $p$), la conjetura es siempre correcto, como antes. Si $x$ es la cifra más baja, sin embargo, y $d \notin (x,y)$, $d$ tiene una mayor oportunidad de ser inferior a $x$ que ser mayor que $x$, por lo que estamos sesgados hacia una decisión incorrecta. El mismo razonamiento se aplica al $x$ es el mayor de los dos números.
Eso significa que tenemos que elegir el proceso de elaboración de $d$ independientemente de $x$. En otras palabras, tenemos que hacer una conjetura acerca de los parámetros de la distribución a partir de que $x$ $y$ son dibujados; peor que sucede es que todavía adivinar al azar, pero lo mejor lo que pasa es que nuestra suposición era correcta, y luego tenemos una ventaja. Cómo esta debe ser mejor que adivinar "x y y, creo, ser de al menos 1\$, but at most 10\$, por lo que si $x > 5$, lo guardamos, y si no, cambiamos" todavía tengo que ver.
Yo estaba engañado por el pop-sci formulación del problema en Wapner del libro (Inesperado Expectativas: Las Curiosidades de las Matemáticas Bola de Cristal), de la cual los estados
"Por cualquier medio, seleccionar al azar un número entero positivo" (Wapner sugiere una distribución geométrica -- lanzando las monedas hasta la primera las cabezas, repitiendo el proceso si $d=x$) "Si $d > x$ adivinar superior y si $d < x$ adivinar inferior. (...) Usted va a adivinar correctamente más que el 50 por ciento del tiempo debido a $d$ puntos correctamente más de 50 por ciento del tiempo!"
