La inversa del teorema de Pitágoras

Question

Dejemos que $ABC$ sea un triángulo en el plano. Supongamos que $AB^2+AC^2=BC^2.$ Pruébalo:

$\angle BAC$ es un ángulo recto.

Observación: Creo que esto es cierto. Ahora tengo la siguiente dificultad. Estoy buscando una prueba que un estudiante de 10º grado pueda entender, pero cualquier esfuerzo mío es vía prueba por contradicción. Me refiero a asumir que el ángulo dado no es un ángulo recto y luego llegar a una contradicción. Así que estoy buscando una solución que podría evitar el método indirecto, pero si no entonces una solución por el método indirecto.

Answer 1

Dibuja lado a lado el triángulo dado $\;\Delta ABC\;$ y un nuevo triángulo $\,PQR\;$ de la siguiente manera:

$$PQ=AB\;,\;\;PR=AC\;,\;\;\angle QPR=90^\circ$$

Ahora, nos dan $\,AB^2+AC^2=BC^2\;$ y el teorema de Pitágoras también da $\,PQ^2+PR^2=QR^2\;$ Así que

$$BC^2=AB^2+AC^2=PQ^2+PR^2=QR^2\implies BC=QR$$

y obtenemos $\,\Delta ABC\cong\Delta PQR\;$ por $\;S.S.S.\;$

Answer 2

Se puede utilizar la fórmula del coseno como

$BC^2$ = $AB^2 + AC^2 -2.(AB).(AC)cos(A)$

sustituyendo la condición obtenemos $2.(AB).(AC)cos(\angle BAC)=0$

que nos da $\angle$ $BAC =\pi/2$

Answer 3

A^2+b^2= c^2 en el triángulo ABC, y argumentar hacia la contradicción como Trazamos la altura del triángulo hacia uno de los lados que forman el ángulo C, y llamamos x a la longitud desde el vértice C hasta esta intersección. x^2+h^2= b^2 y (a-x)^2+h^2= c^2. Jugando con estas tres ecuaciones se ve que x= 0 lo que es una contradicción

Answer 4

Pues bien, lo que siempre me ha funcionado como alumno de décimo curso ha sido cortar un triángulo en triángulos rectos:

Construir un punto $D$ en $BC$ para que $DA$ es perpendicular a $BC$ así que $ADC$ es un triángulo rectángulo y $AD^2 + DC^2 = AC^2$ .

Hay tres posibilidades.

i) $\angle ABC$ es agudo.

Entonces $D$ está entre $B$ y $C$ y $BC = BD + DC$ .

Entonces $AB^2 = BD^2 + AD^2; AC^2 = AD^2 + DC^2; BC^2 = BD^2 + 2BD*DC + DC^2$

Y $AB^2 + BC^2 = AD^2 + DC^2 + 2(BD^2+ BD*DC) = AC^2 + 2(BD^2+ BD*DC) > AC^2$

(Ayuda si hace un dibujo y anota $AB > AD; BC > BD$ así que por supuesto $AB^2 + BC^2 > AD^2 + DC^2 = AC$ . Pero el cálculo te dice exactamente cuánto más grande).

ii) $\angle ABC$ es obtuso.

Entonces $B$ está entre $D$ y $C$ y $DC = DB + BC$ .

Entonces $AB^2 = BD^2 + AD^2; AC^2 = AD^2 + DC^2; DC^2 = DB^2 + 2DB*BC + BC^2$

Y $AB^2 + BC^2 = AD^2 + DC^2 - 2(BD^2+ BD*DC) = AC^2 - 2(BD^2+ BD*DC) < AC^2$

iii) $\angle ABC$ tiene razón.

Entonces $B=D$ y $C$ y $DC = BC $ .

Entonces $AB^2 = AD^2; AC^2 = AD^2 + DC^2=AB^2 + BC^2; BC^2 = DC^2 $

Así que i) $AB^2 + BC^2 > AC^2 \implies \triangle ABC$ es agudo y $AB^2 + BC^2 = AC + 2(BD^2 + BD*DC)$ .

ii) $AB^2 + BC^2 < AC^2 \implies \triangle ABC$ es abtusa y $AB^2 + BC^2 = AC - 2(BD^2 + BD*DC)$ .

iii) $AB^2 + BC^2 = AC^2 \implies \triangle ABC$ tiene razón.

.... que le da al alumno de décimo grado un indicio de la ley de los cosenos que viene.

[es decir $\pm(BD^2 + DB*DC) = AB*BC*\cos \angle ABC$ que es $0$ si $\angle ABC$ es correcto; positivo si es obtuso y negativo si es agudo].

Answer 5

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Inverso del Teorema de Pitágoras

En un triángulo, si el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el ángulo opuesto al primer lado es un ángulo recto. Dado : Un triángulo ABC tal que el cuadrado AB más el cuadrado BC es igual al cuadrado AC. Prueba: el triángulo ABC forma un ángulo recto en B. Construcción: Construir un triángulo rectángulo PQR, acodado en Q, de forma que PQ sea igual a AB y QR sea igual a BC. Prof: Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo PQR tenemos que el cuadrado de PQ más el cuadrado de QR es igual al cuadrado de PR o el cuadrado de AB más el cuadrado de BC es igual al cuadrado de PR ya que PQ es igual a AB y QR es igual a BC por construcción. Sea esta la ecuación 1 pero se da que el cuadrado AB más el cuadrado BC es igual al cuadrado AC. De las ecuaciones 1 y 2 obtenemos que el cuadrado de PR es igual al cuadrado de AC, es decir, PR es igual a AC. Por lo tanto, por el criterio de congruencia SSS, obtenemos que el triángulo ABC es congruente con el triángulo PQR por lo que obtenemos que el ángulo B es igual al ángulo Q pero sabemos que el ángulo Q es igual a 90 grados por construcción. Por lo tanto, el ángulo B es igual a 90 grados. Por tanto, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto en B. Por lo tanto, el teorema queda demostrado.