Considere los casos: Dado que las cadenas en las que los mismos dígitos aparecen el mismo número de veces son equivalentes, lo que importa es qué dígitos se utilizan y con qué frecuencia aparece cada dígito en la cadena de cinco dígitos.
- La cadena contiene cinco dígitos diferentes: Cada dígito aparece una vez en la cadena. Hay $$\binom{10}{5}$$ formas de seleccionar los dígitos.
- La cadena contiene cuatro dígitos diferentes: Un dígito aparece dos veces y cada uno de los otros aparece una vez. Hay $10$ formas de seleccionar el dígito que aparece dos veces y $\binom{9}{3}$ formas de seleccionar qué tres de los dígitos restantes aparecen una vez. Por lo tanto, hay $$10\binom{9}{3}$$ estos casos.
- La cadena contiene tres dígitos diferentes: O bien un dígito aparece tres veces y cada uno de los otros aparece una vez, o bien dos dígitos aparecen dos veces y un dígito aparece una vez.
En el primer caso, hay $10$ maneras de elegir el dígito que aparece tres veces y $\binom{9}{2}$ formas de elegir los dígitos que aparecen una vez. Para el segundo caso, hay $10$ formas de elegir el dígito que aparece una vez y $\binom{9}{2}$ formas de elegir los dígitos que aparecen dos veces. Por lo tanto, hay $$10\binom{9}{2} + 10\binom{9}{2}$$ estos casos.
- La cadena contiene dos dígitos diferentes: O bien una cifra aparece cuatro veces y la otra una, o bien una cifra aparece tres veces y la otra dos.
En cada uno de los dos casos, hay $10$ maneras de elegir el número que aparece más veces en la cadena y $9$ formas de elegir el dígito restante. Por lo tanto, hay $$10 \cdot 9 + 10 \cdot 9$$ estos casos.
- La cadena contiene un dígito (repetido): Hay $10$ formas de elegir el dígito que ocupa cada posición de la cadena.
Como los casos son mutuamente excluyentes y exhaustivos, la respuesta puede encontrarse sumando los resultados de los casos anteriores.
