Encontrar una subsecuencia uniformemente convergente de funciones en $[0,1]$ .

Question

Tenemos una secuencia de funciones $f_n:[0,1]\rightarrow[0,1]$ tal que para todo $n\in\mathbb{N}$ y $x,y\in[0,1]$ , si $|x-y| > \frac{1}{n}$ entonces $|f_n(x) - f_n(y)| \leq \frac{1}{n}|x-y|$ . Necesito demostrar que existe una subsecuencia uniformemente convergente.

Mi idea era definir inductivamente la secuencia algo así:

$n_1 := 1 \\ n_{k+1} := \text{min}\{m>n_k : \text{sup}\{|f_m(x) - f_m(x+\frac{1}{n_k})| : x\in[0,1-\frac{1}{n_k}\}<\frac{1}{n_k}\} $

y luego mostrar la convergencia uniforme. Sin embargo, no estoy convencido de que tal secuencia deba existir.

Cualquier ayuda para demostrar que lo hace o sugerencias de otras estrategias sería muy apreciada.

Answer 1

Pista: El Teorema de Arzelà-Ascoli afirma que toda secuencia equicontinua acotada de funciones en $C^0([a,b], \mathbb{R})$ tiene una subsecuencia uniformemente convergente.