La respuesta es positiva si añadimos un poco más de simetría en las afirmaciones (¡y si no me he equivocado!). Hay un hermoso teorema de Schlichting :
Teorema (Schlichting). Dejemos que $G$ sea un grupo y $\mathfrak H$ una familia de subgrupos de $G$ . Supongamos que el índice $H/H\cap K$ sigue siendo limitado para cualquier miembro $H$ y $K$ de $\mathfrak H$ . Entonces hay un subgrupo $N$ de $G$ invariante bajo el grupo de automorfismos de $G$ fijación de $\mathfrak{H}$ de tal manera que $N/N\cap H$ y $H/ N\cap H$ permanecen acotados para cualquier $H$ en $\mathfrak{H}$ .
En todas las pruebas que conozco del Teorema de Schlichting (hay 3 o 4), el subgrupo $N$ se obtiene como una extensión finita de una intersección finita de miembros de $\mathfrak H$ . En realidad se puede hacer mejor :
Reclamación 1. El subgrupo $N$ obtenido en el Teorema de Schlichting es la intersección de un número finito de miembros de $\mathfrak H$ .
Corolario 1. $G$ es un grupo, $H_1,\dots,H_n$ son subgrupos de $G$ y $H$ es un subgrupo de cada $H_i$ tal que $H_i/H$ es finito. Si cada $H_i$ normaliza $\bigcap_{i=1}^n H_i$ entonces $H$ tiene un subgrupo de índice finito que es normal en cada $H_i$ .
Prueba del Corolario 1. Dejemos que $\mathfrak H$ el conjunto de $\langle H_1,\dots, H_n\rangle$ -conjugados de $H$ . Por el teorema de Schlichting aplicado a la familia $\mathfrak H$ dentro del grupo $I=\bigcap_{i=1}^n H_i$ existe un subgrupo $N$ de índice finito en $I$ que es normal en todos los $H_i$ . Según la reivindicación 1, $N$ es una intersección finita de $\langle H_1,\dots, H_n\rangle$ -conjugados de $H$ por lo que debe ser un subgrupo de $H$ .
Probemos ahora la afirmación 1.
Definición 1 (Wagner). Dejemos que $\mathcal L$ sea un entramado. A rango en $\mathcal L$ es una función de $\mathcal L^2$ a $\mathbf N\cup\{\infty\}$ que satisface las siguientes propiedades:
1) Existe un $k$ en $\mathbf N$ tal que $\delta(a,a)$ es igual a $k$ para todos $a$ en $\mathcal L$ .
2) $\delta$ es creciente en el primer argumento y decreciente en el segundo.
3) Si $a'\geq a\geq a\geq b\geq b'$ son elementos de $\mathcal L$ , si $\delta(a,b)$ y $\delta(a',b')$ son iguales y finitos, entonces $a=a'$ y $b=b'$ .
4) Existe una función creciente $g$ de $\mathbf{N}^2$ a $\mathbf N$ tal que siempre que $a\geq b\geq c$ y ambos $\delta(a,b)$ y $\delta(b,c)$ son finitos, entonces $\delta(a,c)\leq g(\delta(a,b),\delta(b,c))$ .
5) Existe una función creciente $f$ de $\mathbf N^2$ a $\mathbf N$ de tal manera que siempre que ambos $\delta(a,c)$ y $\delta(b,c)$ son finitos, entonces $\delta(a\lor b,c)\leq f(\delta(a,c),\delta(b,c))$ .
Teorema 1 (Wagner). $\mathcal L$ es un entramado con rango $\delta$ y $\mathfrak F$ es una familia de elementos en $\mathcal L$ tal que $\delta(a_0,a_1\land\dots\land a_i)\leq n(i)$ para todos $i$ en $\mathbf N$ y $a_0,\dots,a_i$ en $\mathfrak F$ . Hay algunos $f$ en $\mathfrak F$ y $m$ en $\mathbf N$ tal que $f$ está fijado por todos los automorfismos de $\mathcal L$ fijación de $\mathfrak F$ y dejando $\delta$ invariante, con además $\delta(a,f)\leq m$ y $\delta(f,a)\leq f(n(1),f(k,n(1)))$ . Más concretamente, $f$ es una intersección finita $\bigwedge_{i=1}^ma_i\lor a_{m+1}$ donde $a_0,\dots,a_m,a_{m+1}$ son intersecciones finitas de los miembros de $\mathfrak F$ .
Usando la idea de Mark Sapir ici se puede decir:
Lema 1. $G$ es un grupo, $H$ y $K$ son subgrupos de $G$ y $\sigma$ es un automorfismo de grupo de $G$ . Si $\sigma$ estabiliza $H\cup K$ a nivel de conjunto, entonces $H\cup K$ es un grupo o $\sigma$ estabiliza $H\cap K$ .
Prueba del lema 1. El grupo $\sigma H$ es la unión de los dos grupos $\sigma H\cap H$ y $\sigma H\cap K$ . Esto sólo puede ocurrir si $\sigma H=\sigma H\cap H$ o $\sigma H=\sigma H\cap K$ . En el primer caso, $\sigma H\subset H$ , y en el segundo $\sigma H\subset K$ . Del mismo modo, o bien $\sigma K\subset K$ o $\sigma K\subset H$ . Son cuatro casos a tratar y de hecho dos por simetría. Supongamos primero que $\sigma K\subset H$ y $\sigma H\subset H$ . Entonces $K\subset\sigma^{-1}H$ y $H\subset\sigma^{-1}H$ . Como $\sigma^{-1}$ estabiliza $H\cup K$ , o bien tenemos $\sigma^{-1}H\subset H$ o $\sigma^{-1}H\subset K$ por lo que el primer caso conduce a $K\subset H$ o $H\subset K$ . Segundo caso : $\sigma K\subset H$ y $\sigma H\subset K$ que producen $\sigma (H\cap K)\subset (H\cap K)$ . Esto también es válido para $\sigma^{-1}$ Así que $\sigma(H\cap K)=H\cap K$ .
Prueba de la alegación 1. Llamamos a un coset en $G$ un coset de la izquierda $gH$ de cualquier subgrupo $H$ de $G$ y considerar el conjunto $\mathcal C$ de uniones finitas de cosets en $G$ . Según la convención convención, una unión vacía es vacía, por lo que el conjunto vacío está en $\mathcal C$ . El conjunto $\mathcal C$ está parcialmente ordenado por inclusión. Si $gH$ y $gK$ son dos cosets en $G$ la intersección $gH\cap gK$ está vacío o es un coset de $H\cap K$ . Equipado con intersección y unión, $\mathcal C$ forma un entramado distributivo.
Para cualquier $A$ en $\mathcal C$ decimos que un subgrupo $H$ de $G$ es representado en $A$ si $gH\subset A$ para algunos $g$ en $G$ . Si $B\subset A$ y $B$ es no vacío, el grupo $\{1\}$ se representa en $B$ por lo que siempre es posible encontrar una familia $(H_i)_{i\in I}$ del subgrupo representado en $B$ y elementos $(g_i)_{i\in I}$ en $G$ tal que $\bigcup_{i\in I} g_i H_i\cup B=A$ . Llamamos a esta unión una $B$ -cubriendo de $A$ de tamaño $|I|+1$ . Si $B\subset A$ definimos el rango $\delta(A,B)$ para ser el tamaño mínimo de $B$ -cubiertas de $A$ . Para la arbitrariedad $A$ y $B$ en $\mathcal C$ ampliamos la definición poniendo $\delta(A,B)$ igual a $\delta(A,A\cap B)$ . Obsérvese que todo automorfismo de $G$ deja $\delta$ invariante. Si $H$ y $K$ son dos subgrupos de $G$ entonces $\delta(H,K)$ es el índice habitual $[H:H\cap K]$ . No es difícil comprobar que se trata efectivamente de un rango en el sentido de la definición 1, tomando la suma y la multiplicación para $f$ y $g$ .
Ahora considere $\mathcal L$ la subred de $\mathcal C$ generado por los elementos de $\mathfrak H$ . El número $\delta(H,H')$ está limitada por $n$ por cada $H,H'$ en $\mathfrak H$ . Por el Teorema 1, hay alguna $L$ en $\mathcal L$ y un número natural $p$ tal que $\delta(H,L)$ es como máximo $p$ y $\delta(L,H)$ es como máximo $2n+1$ para todos $H$ en $\mathfrak H$ y tal que $L$ es invariante por cualquier automorfismo de $G$ fijación de $\mathfrak H$ a la vez. Pero, como la red es distributiva, $L$ es también la unión de dos grupos $A$ y $B$ conmensurable con $\mathfrak H$ . Por el lema 1 $A\cup B$ o $A\cap B$ hacer el trabajo. El fin
Corolario 2. Su pregunta tiene una respuesta positiva si y sólo si hay al menos un subgrupo $L$ de $G$ conmensurable con $H_1$ y normalizado por cada $H_i$ .
Prueba. Si $K$ es de índice finito en cada $H_i$ , set $I=L\cap K$ y aplicar Schlichting al conjunto de $\langle H_1,\dots, H_n\rangle$ -conjugados de $I$ dentro de $L$ .
