¿Cuál es el uso de los números hiperreales?

Question

Durante algún tiempo he estado tratando de comprender el concepto de los números hiperreales. Parece que fueron inventados como una alternativa a las definiciones $\epsilon-\delta$ para establecer los procesos del cálculo sobre una base sólida.

Por lo que he leído sobre los números hiperreales entiendo que son una extensión del sistema de números reales e incluyen todos los números reales, infinitesimales e infinitos.

Me pregunto si los números hiperreales se utilizan solo como una justificación para el uso de los infinitesimales en cálculo o si también tienen otras aplicaciones (de las cuales no tengo conocimiento).

Al igual que cuando extendemos nuestro sistema de números desde $\mathbb{N}$ hasta $\mathbb{C$, en cada paso hay alguna deficiencia en el sistema existente que se elimina en el siguiente sistema más grande. Así, $\mathbb{Z}$ permite la sustracción que no siempre es posible en $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Q}$ permite la división que no siempre es posible en $\mathbb{Z}$. Las razones para pasar de $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$ son de naturaleza no algebraica. El siguiente paso de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$ es trivial y se basa en la necesidad de habilitar las raíces cuadradas, pero ya que el $\mathbb{R}$ existente es tan poderoso, el nuevo sistema de números complejos explota este poder para crear un rico campo de análisis complejo.

¿El sistema de números hiperreales utiliza el poder existente de $\mathbb{R}$ para llegar a una teoría más rica (algo similar al análisis complejo que mencioné anteriormente)? ¿O solo sirve como una alternativa a las definiciones $\epsilon, \delta$? En otras palabras, ¿qué papel juegan los números hiperreales no reales en matemáticas?

Dado que soy novato en este tema de los números hiperreales, me gustaría respuestas que eviten demasiados símbolos y tecnicismos y se centren en la esencia.

Answer 1

Su punto sobre las extensiones sucesivas de un sistema de números básico es muy acertado. Utilizamos las extensiones sucesivas $$ \mathbb{N}\hookrightarrow\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}\hookrightarrow\mathbb{R} $$ para facilitar la resolución de problemas en álgebra y geometría. Los griegos tenían que hacer todo en términos de proporciones refiriéndose solo a números naturales, lo que complicaba las cosas. Al quedarnos con sistemas de números ordenados, la próxima extensión se realiza de manera similar, no por una cuestión de generalidad, sino más bien para facilitar aplicaciones en cálculo infinitesimal. Así, una vez que completamos la cadena de extensiones a $$ \mathbb{N}\hookrightarrow\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}\hookrightarrow\mathbb{R}\hookrightarrow{}^\ast\mathbb{R}, $$ obtenemos una mayor facilidad en muchos niveles, desde lo elemental hasta la investigación.

Para dar tres ejemplos simples, considera lo siguiente.

(1) La definición de la derivada se convierte en un procedimiento finito en lugar de un proceso de límite infinito. Así, la derivada de $y=f(x)$ se define por $f'(x)=\text{st}\big(\frac{\Delta y}{\Delta x}\big)$ donde $\Delta x$ es un incremento $x$ infinitesimal, y "st" es la función de parte estándar que "redondea" cada hiperreal finito al número real más cercano.

(2) La definición de continuidad de una función, que en la vía A implica múltiples alternancias de cuantificadores y generalmente se considera confusa para los estudiantes, puede reemplazarse por lo que era esencialmente la definición de Cauchy: una función $f(x)$ es continua si un incremento $x$ infinitesimal $\alpha$ siempre produce un cambio infinitesimal $f(x+\alpha)-f(x)$ en la función.

(3) Terry Tao ha hablado y escrito extensamente sobre el poder expresivo del marco de Robinson para el análisis con infinitesimales y su utilidad en la investigación; por ejemplo, en esta publicación de 2017 en Análisis Discreto.

Answer 2

Puedo pensar en dos puntos de vista.

El primero, y en mi opinión la aplicación más típica, es que el análisis real no logra apoyar directamente el razonamiento sobre lo "suficientemente pequeño" o "suficientemente grande", y requiere argumentos $\epsilon-\delta$ u otros tipos de argumentos para traducir el razonamiento en algo preciso.

El análisis no estándar, sin embargo, lo hace apoyar directamente; por ejemplo, para cualquier pregunta que involucre solo números y funciones estándar, si hay una noción de "suficientemente pequeño", entonces todos los números infinitesimales serán suficientemente pequeños.

Observe que esta aplicación no señala un único campo como "el" hiperreales. De hecho, algunos usos más sofisticados pueden requerir modelos especialmente construidos para tener diversas propiedades de saturación, o incluso pueden querer trabajar con una jerarquía de varios modelos no estándar.

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El segundo es que $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ — el álgebra de todas las funciones de los números naturales a los reales (es decir, secuencias) — tiene muchos más "puntos" que solo los números naturales.

Para un ejemplo de lo que quiero decir, considera solo la subálgebra de secuencias convergentes. Además de todos los lugares de los números naturales (donde "evaluamos" una secuencia $s$ en el lugar $n$ tomando su $n$-ésimo elemento $s_n$), también está el lugar infinito $\infty$, y el valor de una secuencia $s$ en $\infty$ es $\lim_{n \to \infty} s_n$.

Para el álgebra de todas las secuencias, hay muchos lugares infinitos. La clave es que ninguno de estos lugares será de valor real — en cambio, serán de valor hiperreal.

Los lugares infinitos corresponden a ultrafiltros libres en $\mathbb{N}$, y el valor de una secuencia en tal lugar estará en el campo hiperreal correspondiente construido como una ultrapotencia.

(una palabra clave relevante aquí es "compactificación de stone-cech")

Aquí puedes hacer cosas interesantes, como dar un significado riguroso a varios malentendidos del cálculo; por ejemplo, cuando los estudiantes intentan pensar en $\lim_{n \to \infty} a_n$ como algo "que se acerca cada vez más al límite sin alcanzarlo", uno podría plantear que están realmente pensando en el valor de la secuencia $a_n$ en uno de los lugares no estándar.

(aunque, en mi opinión no informada, probablemente es mejor darse cuenta de la intuición vaga haciendo análisis no estándar de una manera normal — por ejemplo, introduciendo la noción de los valores $a_H$ para $H$ infinito)