Demuestre que $x$ o $1-x$ es invertible en $R$

Question

Dejemos que $F$ sea un campo, y que $R$ sea un subring de $F$ . Supongamos que para cada $u\in F\setminus \{0\}$ , ya sea $u\in R$ o $u^{-1}\in R$ . Dado $x\in R$ , demuestran que, o bien $x$ o $1-x$ es invertible (o unitario) en $R$ .

Para el anillo local, podría imaginar pero no el caso anterior.

Answer 1

Definir $u:=\frac{x}{1-x}$ . Si $u$ está en $R$ entonces $1+u$ está en $R$ . Pero $(1-x)(1+u)=1-x+x=1$ Así que $1-x$ es invertible.

Si $u$ no está en $R$ entonces $u^{-1}$ está en $R$ . Utilizar ahora $1+u^{-1}$ como en el caso anterior. Obtenemos que $1+u^{-1}$ está en $R$ . Pero $x(1+u^{-1})=x+(1-x)=1$ . Por lo tanto, $x$ es invertible.