Demostrar que las funciones dadas abarcan el espacio dual de todos los polinomios de 4º grado (y encontrar las bases para las que las funciones dadas son bases duales)

Question

Llamemos a $\Bbb{R[x]}_4$ un espacio lineal de todos los polinomios de 4º grado con coeficientes reales. Nos dan los funcionales $\phi_j \in (\Bbb{R[x]}_4)^*$ :

• $\phi_0(p)=p(-1)$
• $\phi_1(p)=p(0)+p(1)$
• $\phi_2(p)=p(0)-p(1)$
• $\phi_3(p)=p(2)$
• $\phi_4(p)=p(-2)$

Los problemas nos piden que demostremos que las funciones dadas son la base de $(\Bbb{R[x]}_4)^*$ . Entonces debemos encontrar los coeficientes $a_0,a_1,a_2,a_3,a_4 \in \Bbb{R}$ tal que si los funcionales dados son de base dual a los polinomios $p_0,p_1,p_2,p_3,p_4$ y $p(t)=t$ entonces $p=\sum_{i=0}^4a_ip_i$ .

Cuando se trata de la primera parte de este problema, pensé en elegir los funcionales $\beta_0=p(0)$ , $\beta_1=p(1)$ , $\beta_2=p(-1)$ , $\beta_3=p(2)$ , $\beta_4=p(-2)$ y estas funciones deben ser bases duales para las bases de Lagrange construidas a partir de ellas. Entonces se puede demostrar que cada $\beta$ se puede escribir como una combinación lineal de $\phi$ por lo que su extensión es igual, y como sabemos que $\beta$ funciones debe ser la base de $(\Bbb{R[x]}_4)^*$ por lo que lo mismo debe ser cierto para $\phi$ funciones.

En cuanto a la segunda parte del problema, he pensado en calcular la base de Lagrange para $\beta$ funciones y luego hacer algunas manipulaciones a la misma para obtener la base de Lagrange de $\phi$ funciones y desde ese punto calcularía las coordenadas de $p$ en esa base que daría la respuesta. Pero esta solución parece demasiado compleja y difícil de calcular. ¿Hay alguna más sencilla? Además, ¿son correctos mis argumentos anteriores?

Answer 1

En primer lugar, se quiere demostrar que las funciones son linealmente independientes. Supongamos que $ \phi_c = \sum_i c_i \phi_i = 0 $ entonces $ \phi_c( x (x-1) (x-2) (x+2) ) = 0 $ pero también $ \phi_c( x (x-1)(x_2)(x+2) ) = c_0 $ , comprobando directamente y de forma explícita lo que evalúa para las otras funcionales de base. Así que $ c_0 = 0 $ . Del mismo modo concluir que el otro $ c_i = 0 $ .

En segundo lugar, se quiere demostrar que abarcan el espacio vectorial. ¿Puedes apelar al teorema de que el espacio dual tiene la misma dimensión?

Por último, si $ t = \sum_i a_i p_i(t) $ entonces $ \phi_j(t) = a_j $ por el hecho de que $ \phi_j (p_i) = \delta_{ij} $ . Por lo tanto, basta con evaluar los funcionales en $ t $ .

También puede intentar calcular explícitamente la base dual para la práctica. Por ejemplo $ p_0 = \frac{-1}{6} x(x-1)(x-2)(x+2) $ se evalúa a cero en los lugares correctos, y se escala para que $ \phi_0(p_0) = 1 $ . Entonces puede comprobar explícitamente si el $ a_i $ son correctos.