Al principio del capítulo 2 de Teoría de la información, inferencia y algoritmos El autor dice que se abstendrá de ser innecesariamente riguroso y pone el ejemplo de decir que algo es "verdadero" en lugar de decir más formalmente que dicha cosa es "verdadera con probabilidad 1". ¿Hay alguna diferencia entre que algo sea "verdadero" y "verdadero con probabilidad 1"?
Respuestas
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Si algo es cierto, entonces es cierto con probabilidad de uno. O al menos supongamos eso sin plantear más complicaciones. Pero algo con probabilidad de uno no es necesariamente cierto. Esta es la noción de que algo es casi seguramente Es cierto.
Ejemplo
Supongamos que muestreamos uniformemente en el intervalo $x \in [0,1] \subset \mathbb{R}$ . Desde $P(x=\frac{1}{2}) = 0$ podemos deducir que $P(\lnot [x = \frac{1}{2}]) = 1 - P(x = \frac{1}{2}) = 1$ . Es casi seguro que no se muestre $x=\frac{1}{2}$ pero no es imposible.
Ejemplo: Lanzamiento de dardos
Este ejemplo está sacado de Wikipedia.
Imagina que lanzas un dardo a un cuadrado unitario (un cuadrado con un área de 1) de manera que el dardo siempre da en un punto exacto del cuadrado, de forma que cada punto del cuadrado tiene la misma probabilidad de ser alcanzado. Como el cuadrado tiene un área de 1, la probabilidad de que el dardo acierte en una subregión concreta del cuadrado es igual al área de esa subregión. Por ejemplo, la probabilidad de que el dardo dé en la mitad derecha del cuadrado es de 0,5, ya que la mitad derecha tiene un área de 0,5.
A continuación, consideremos el caso de que el dardo impacte exactamente en un punto de las diagonales del cuadrado unitario. Como el área de las diagonales del cuadrado es 0, la probabilidad de que el dardo caiga exactamente en una diagonal es 0. Es decir, el dardo casi nunca caerá en una diagonal (equivalentemente, casi seguro que no caerá en una diagonal), aunque el conjunto de puntos de las diagonales no está vacío, y un punto en una diagonal no es menos posible que cualquier otro punto.
Aaron
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36
Esta diferencia se produce por la diferencia entre probabilidad y posibilidad
La idea básica aquí es que podemos tener un espacio de resultados $\Omega_*$ que son todos posible pero algunos resultados en el espacio pueden ser tan improbable que podemos eliminarlas de la consideración mientras seguimos teniendo la probabilidad uno para el conjunto de resultados restantes. Por ejemplo, si tenemos una variable aleatoria continua $X$ con apoyo $\mathscr{X}$ entonces cada valor del soporte es posible, pero cada valor específico también tiene una probabilidad nula de ocurrir. Así, si tomamos algún valor $x \in \mathscr{X}$ entonces sabemos que $x$ es un valor posible, pero también tenemos $\mathbb{P}(X \neq x) = 1$ . En este caso, no es necesariamente cierto que $X \neq x$ (ya que $x$ es un valor posible) pero se cumple con probabilidad uno (decimos que esto ocurre "casi con seguridad"). Se pueden construir fácilmente ejemplos de la divergencia entre posibilidad y probabilidad utilizando sucesos de probabilidad cero para variables aleatorias continuas. El ejemplo del lanzamiento de dardos citado en la otra respuesta es un ejemplo de ello.
Esta división se produce por la diferencia entre probabilidad y posibilidad, y es algo que hay que tener en cuenta cuando se trata de variables aleatorias continuas o en otros casos similares. A continuación te daré un esquema básico de cómo se representa la posibilidad en el análisis de sucesos, y cómo se diferencia de la probabilidad. Existe una considerable literatura que analiza las representaciones matemáticas de la posibilidad (este campo se conoce como teoría de la posibilidad), que está estrechamente relacionada con la lógica modal y la teoría de los conjuntos difusos. Se puede encontrar una visión general de este campo en Yager (ed) (1982) , Kacprzyk y Orlovski (eds) (1987) , Dubois y Prade (1993) , Terano, Asai y Sugeno (eds) (1992) , Zadeh y Kacprzyk (1992) y Dubois (2006) .
Breve descripción de la teoría de la posibilidad
El campo de teoría de la posibilidad se formaliza de manera similar al campo de la teoría de la probabilidad. En ambos casos tenemos un espacio global de resultados $\Omega$ y una clase de eventos $\mathscr{E} \subseteq \Omega$ en ese espacio. La teoría de la posibilidad funciona con un operador de conjunto que mide los acontecimientos en una escala de cero a uno, igual que en la teoría de la probabilidad. La teoría se caracteriza por una función de posibilidad $\nabla$ que obedece a un conjunto de axiomas cercanos a los de la teoría de la probabilidad, salvo que muestran un comportamiento diferente cuando se aplican a uniones de sucesos disjuntos. Las propiedades que caracterizan una medida de posibilidad $\nabla$ y una medida de probabilidad $\mathbb{P}$ son los siguientes (en la última línea nos referimos a un conjunto contable $\mathscr{E}_1,\mathscr{E}_2,\mathscr{E}_3,...$ de eventos disjuntos):
$$\begin{matrix} \text{Possibility measure} \quad \quad & & & & & \text{Probability measure} \quad \\[6pt] \nabla(\varnothing) = 0 \quad \quad \quad & & & & & \mathbb{P}(\varnothing) = 0 \quad \quad \\[6pt] \nabla(\Omega) = 1 \quad \quad \quad & & & & & \mathbb{P}(\Omega) = 1 \quad \quad \\[6pt] \nabla ( \bigcup_i \mathscr{E}_i ) = \max_i \nabla(\mathscr{E}_i) & & & & & \mathbb{P} ( \bigcup_i \mathscr{E}_i ) = \sum_i \mathbb{P}(\mathscr{E}_i) \\[6pt] \end{matrix}$$
Como puede ver, ambas funciones dan una medida cero para el evento vacío $\varnothing$ y la medida de la unidad para el espacio completo $\Omega$ . Sin embargo, cuando se trata de uniones contables de conjuntos disjuntos, las dos medidas difieren --- la probabilidad de una unión contable de eventos disjuntos es igual a la suma de las probabilidades de esos eventos, mientras que la medida de posibilidad de una unión contable de eventos disjuntos es igual a la máximo de las medidas de posibilidad de esos eventos.
La medida anterior de la posibilidad puede parecer un poco extraña, ya que estamos acostumbrados a pensar en la posibilidad como algo binario. La medida de posibilidad se formula de forma más generalizada (permitiendo cualquier valor entre el cero y el uno) para dar cabida a campos como la lógica difusa y la lógica modal. No obstante, para los fines actuales, podemos simplificar la teoría de la posibilidad para tratar sólo los sucesos clasificados mediante la categorización binaria (cero o uno) con $\nabla(\mathscr{E}) = 0$ lo que significa que $\mathscr{E}$ es imposible y $\nabla(\mathscr{E}) = 1$ lo que significa que $\mathscr{E}$ es posible. (La tercera propiedad anterior se reduce a decir que la unión de un conjunto contable de sucesos disjuntos es posible si y sólo si al menos uno de los sucesos es posible, lo que corresponde a nuestra intuición.
(De hecho, si todos los sucesos tienen medida de posibilidad cero o uno, entonces es posible extender las propiedades de la medida de posibilidad para permitir la propiedad de maximización anterior sobre uniones arbitrarias, no sólo uniones contables. Esta extensión no es posible en general para la medida de probabilidad, como es bien sabido).
Relacionar probabilidad y posibilidad
Para relacionar las medidas de probabilidad y de posibilidad en el mismo espacio (y así ver cómo interactúan) podemos empezar por tomar algún espacio general $\Omega$ y considerando la conjunto de todos los resultados posibles definido por $\Omega_* \equiv \{ \omega \in \Omega | \nabla(\{\omega\}) = 1 \}$ . Por lo general, comenzaremos nuestro análisis con el axioma de que el conjunto de todos los resultados posibles tiene probabilidad uno (es decir, que $\mathbb{P}(\Omega_*)=1$ ). A partir de este axioma podemos establecer que todos los sucesos ciertos son casi seguros y todos los sucesos con probabilidad positiva son posibles. Sin embargo, las conversaciones no son necesariamente ciertas: un suceso casi seguro no es necesariamente cierto y un suceso posible no tiene necesariamente una probabilidad positiva.
Te dejo como ejercicio que veas si puedes derivar las reglas anteriores del axioma anterior. Es relativamente sencillo formular un ejemplo utilizando una variable aleatoria continua en la que se tienen sucesos inciertos pero con probabilidad uno.
Chickenmales
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58
Como Galen indicado, este es el concepto de casi seguramente o casi en todas partes .
Para proporcionar un marco más general, consideremos un espacio de medidas $(X, \mathfrak A, \mu). $ Para un conjunto medible $A\in \mathfrak A, $ una propiedad $\mathsf Q$ tiene casi en todas partes en $A$ siempre que exista un conjunto nulo $A_0\subset A$ es decir $\mu(A_0) = 0,$ et
$$\mathsf Q(x)~~~ \forall x\in A\setminus A_0.\tag 1$$
Referencia:
$[\rm I]$ Análisis real, H. L. Royden, P. M. Fitzpatrick, Pearson Education, $2010, $ sección $2.5, $ p. $45.$
TooAngel
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610
Una probabilidad no es más que una función que satisface un conjunto de axiomas y asigna subconjuntos del espacio muestral a números reales entre $0$ y $1$ . Uno de los más utilizados es Axiomas de Kolmogorov . Por lo tanto, si se construye una función propia que satisfaga ese conjunto de axiomas, no importa cuál sea, y se tiene un conjunto que se mapea a $1$ entonces (el resultado representado por) ese conjunto se dice que es verdadero con probabilidad $1$ .
Pero cuando decimos que algo es cierto, es lógicamente cierto. Por ejemplo, si se lanza una moneda al aire, es cierto que sale cara o cruz. Puede considerarse en el ámbito de la "probabilidad", pero también tiene un significado lógico.
TegtmeierDE
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38
Considere la hoja (-1,-1)-(+1,+1) con un agujero del tamaño de un punto en el origen.
Es cierto con probabilidad 1 que un punto aleatorio dentro de (-1,-1)-(+1,+1) en la hoja. Pero hay un punto que cumple esa definición que no está en la hoja. Así que no es cierto que un punto dentro de (-1,-1)-(+1,+1) esté en la hoja.
No hay diferencia en el ámbito finito.
