Resolver $\int^{+ \infty}_{- \infty} \exp(-x-e^{-x})dx= \frac{1}{c}$

Question

Necesito resolver una ecuación. $\int^{+ \infty}_{- \infty} \exp(-x-e^{-x})dx= \frac{1}{c}$

Sé que $\int^{+\infty}_{-\infty} \exp(-x-e^{-x})dx= \lim_{a \rightarrow -\infty} \int^{0}_{a} \exp(-x-e^{-x})dx + \lim_{b {\rightarrow \infty}} \int^{b}_{0} \exp(-x-e^{-x})dx$

¿Alguien puede explicar paso a paso cómo integrar $\int \lim_{a \rightarrow -\infty} \int^{a}_{0} \exp(-x-e^{-x})dx $ He utilizado el método de intercambio variable y he obtenido $\lim_{a \rightarrow -\infty} (e-e^{-a})$ .

¿Está bien? Pero, ¿cómo resolver este límite?

Answer 1

Esto no es una ecuación integral sólo es hacer una integral. Cambia la variable $u=e^{-x}$ y se obtiene 1.

Answer 2

Que tenemos: $$I=\int\exp\left(-x-e^{-x}\right)dx$$ $$=\int e^{-x-e^{-x}}dx$$ $u=e^{-x}$ así que $dx=\frac{du}{-e^{-x}}$ $$I=-\int e^{-u}du=e^{-u}+C=e^{-e^{-x}}+C$$ ahora poner en los límites